ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Преобразования систем скользящих векторов. Сведение систем скользящих векторов к простейшим системам из "Классическая механика " Для того чтобы наиболее удобным образом ввести понятие об эквивалентности двух множеств векторов и построить затем систему правил, позволяющих упрощать эти множества, определять, эквивалентны ли они, и т. д., введем предварительно понятие о векторном нуле. [c.346] Векторным нулем называется множество векторов, состоящее из двух векторов, равных по величине, действующих вдоль одной и той же прямой и направленных в противоположные стороны. [c.346] Множество систем векторов называется множеством систем скользящих векторов, а каждая система векторов из этого множества — систел ой скользящих векторов в том случае, когда, опираясь на физические соображения, можно ввести следующее соотношение эквивалентности две системы из множества эквивалентны, если любая из них переходит в другую путем добавления или отбрасывания векторных нулей. [c.346] Задача о том, можно или нельзя в каждом конкретном случае ввести такое соотношение эквивалентности для систем векторов, не может быть решена формально, исходя из свойств этих систем векторов как математических объектов. Установление соотношения эквивалентности — новое аксиоматическое предположение, а вопрос о законности любого предположения такого рода каждый раз решается, исходя из физической сущности объектов, математической моделью которых являются рассматриваемые системы векторов. Например, интуитивно ясно, что при изучении движения (а не внутреннего состояния) твердого тела к совокупности сил, действующих на это тело, можно добавлять (или от нее можно отбрасывать) две силы, равные по величине н действующие вдоль одной и той же прямой в противоположные стороны. Поэтому множество векторов, изображающих систему сил, действующих на твердое тело, образует систему скользящих векторов. Легко видеть, однако, что совокупность сил взаимного притяжения, приложенных к двум разным телам, не составляет системы СКОЛЬЗЯЩИХ векторов, так как хотя силы взаимного притяжения всегда образуют векторный нуль, их отбросить нельзя, поскольку движение тел зависит, в частности, и от этих сил. [c.346] МОЖНО перемещать любой вектор системы вдоль линии его действия. Чтобы показать это, рассмотрим, например, множество из трех векторов (рис. П. 11, а), предположив, что это множество составляет систему скользящих векторов. Выберем произвольную точку О на линии действия какого-либо из векторов системы, например первого, и приложим в этой точке векторный нуль, составленный из векторов / и равных по величине вектору / и действующих вдоль той же прямой (рис. П. 11, б). [c.347] Векторы 1 и Г также образуют векторный нуль— отбросим его. В результате получается система, показанная на рис. П.И.й. По определению она эквивалентна исходной, так как мы только добавляли и отбрасывали векторные нули, но теперь уже вектор 1 перемещен в точку О вдоль линии действия. Разумеется, так же можно было переместить любой иной вектор системы. [c.347] До сих пор мы рассматривали вектор как направленный отрезок, характеризуемый величиной, направлением и точкой приложения. Для системы скользящих векторов понятие точки приложения оказывается излишним. Благодаря постулируемому правилу, разрешающему добавлять и отбрасывать векторные нули, векторы систем как бы освобождаются от точек приложения, наделяются возможностью скользить вдоль линии действия ). [c.347] Преобразования, связанные с добавлением или отбрасыванием векторных нулей и с заменой пучка векторов одним вектором, назовем элементарными преобразованиями. [c.348] Оба элементарных преобразования обратимы. Для добавления нулей это следует из определения — нули можно добавлять и отбрасывать. Для замены пучка суммой это следует из того, что для разложения вектора по заданным направлениям достаточно операции добавления и отбрасывания векторных нулей. [c.348] Теорема 5. Элементарные преобразования не меняют ни главного вектора, ни главного момента системы скользящих векторов. [c.348] Столь же тривиально утверждение теоремы 5 в отношении главного вектора при втором элементарном преобразовании — замене пучка его суммой Ф. [c.349] для пучка скользящих векторов момент главного вектора ровен главному моменту пучка. Это утверждение иногда выделяют в отдельную теорему — так называемую теорему Вариньона. [c.350] Теорема 6. Любая система скользящих векторов эквивалентна двум векторам, один из которых проходит через произвольно заданную точку. [c.350] Доказательство. Возьмем какой-либо вектор Ft из рассматриваемой системы и выберем произвольно три точки А, В и с, не лежащие на одной прямой. [c.350] причем точка А с самого начала была выбрана произвольно-Теорема доказана. [c.351] Рассмотрим теперь следующую задачу заданы две различные системы скользящих векторов. Требуется определить,. эквивалентны ли они, т. е. можно ли одну из них перевести в другую последовательностью элементарных преобразований. Опираясь на доказанную выше теорему б, можно доказать следующую теорему, устанавливаюш,ую общий критерий эквивалентности двух систем скользящих векторов. [c.351] Теорема 7. Для эквивалентности двух систем скользящих векторов необходимо и достаточно, чтобы эти системы имели равные главные векторы и равные главные моменты относительно произвольно выбранного полюса. [c.351] Замечание. Выбор полюса произволен, так как если моменты равны относительно какого-либо полюса, то они равны относительно любого другого полюса в силу равенства главных векторов. [c.351] Доказательство. Необходимость. Если две системы эквивалентны, то эго означает, что любая из них получается из другой элементарными преобразованиями, а элементарные преобразования не меняют ни главного момента, ни главного вектора системы (теорема 5). [c.351] По условию главные векторы н главные моменты систем /= и 0 совпадают. Следовательно, для систем [F и ( они противоположны. Поэтому главный вектор и главный момент системы F, G равны нулю. [c.352] Вернуться к основной статье