ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Классификация интегральных инвариантов. Теорема Ли Хуачжуна из "Классическая механика " Теорема Лиувилля. Фазовый объем V не зависит от t, т. в. является инвариантом движения. [c.301] Далее мы докажем эту теорему, имеющую важное приложение в статистической физике в связи с исследованием некоторых свойств статистических ансамблей. [c.301] Статистическим ансамблем назы- д, вается множество одинаковых динамических систем, т. е. систем, описываемых одинаковыми уравнениями движения и отличающихся одна от другой лишь благодаря случайному разбросу начальных данных. [c.301] Если теперь выбрать в момент малую область А5о, зафиксировать системы ансамбля, которые при t = представляются точками области Д5д, и далее вести наблюдение за ними (т. е. считать, что Аг неизменно) и учесть, что в силу теоремы Лиу-вилля объем ДК также не меняется во время движения, то отсюда сразу следует, что отношение р не меняется во времени. Следовательно, плотность статистического ансамбля не меняется во время его движения, т. е. [c.302] Это утверждение представляет собой иную формулировку теоремы Лиувилля об инвариантности фазового объема. [c.302] В связи с тем, что плотность статистического ансамбля зависит только от фазовых координат и времени и не зависит от производных фазовых координат, утверждение р = onst определяет первый интеграл уравнений движения. [c.302] Здесь определитель выписан для k s n, а символ ( ) означает, что в соответствующей части определителя У стоят те же элементы, что и в исходном определителе J. [c.303] В тех случаях, когда интегральный инвариант относится к какому-либо замкнутому контуру, он называется относительным. Интегральные инварианты Пуанкаре Картана и Пуанкаре являются относительными, а инвариант фазовый объем таковым не является. [c.305] Инварианты, не содержащие гамильтониана и, следовательно, сохраняющиеся для всех динамических систем, движущихся в потенциальных нолях, называются универсальными. Инвариант Пуанкаре и инвариант фазовый объем — универсальные, а инвариант Пуанкаре — Картана не относится к универсальным. [c.305] Порядок инварианта определяется размерностью множества, по которому производится интегрирование. Инвариант Пуанкаре— Картана и универсальный инвариант Пуанкаре являются инвариантами первого порядка, так как интегрирование в этих инвариантах производится по одномерному множеству (по контуру). Инвариант фазовый объем является инвариантом 2и-го порядка, так как интегрирование производится по 2/ьмерной области — фазовому объему. [c.305] Естестгенно возникает вопрос существуют ли универсальные относительные инварианты первого порядка Jj, отличные от инварианта Пуанкаре Л Ответ на этот вопрос дает теорема, доказанная Ли Хуачжуном. [c.305] Таким образом, наша задача сводится к доказательству равенств Г-3°. [c.306] Заметим, что эти равенства имеют место при любом выборе функции Н. Функции. 4 и В (а следовательно, и функции Y и R) в силу универсальности интегрального инварианта (90) не зависят от Н можно поэтому установить общие свойства функций Y и R, выбирая функцию Н каким-либо специальным образом. Воспользуемся этим обстоятельством и, задавая различные функции Н, выясним условия, которым удовлетворяют функции Y W R. [c.309] Вернуться к основной статье