ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Связь законов сохранения (первых интегралов) со свойствами пространства и времени. Теорема Эммы Нетер из "Классическая механика " В этом параграфе вариационный подход к задаче механики и, в частности, полученная в 4 общая формула для вариации функционала будут использованы для того, чтобы установить связь между законами сохранения, которые были получены в предыдущих главах, и общими свойствами пространства и времени, которые находят свое выражение в инвариантности законов механики относительно преобразований систем отсчета. Установление этой связи позволит понять внутреннюю природу законов сохранения и причины, по которым эти законы существуют. Такое понимание особенно важно, ибо оно иногда позволяет предвидеть первые интегралы и тем самым облегчить исследование уравнений, описывающих движение. [c.286] Р Это преобразование тождественно при а=0, т. е. [c.287] Эти формулы получаются из формул (70), если вместо t подставить /(, и соответственно. [c.288] Вспомним, что прямой путь и точки 0 и на нем были выбраны произвольно. Отсюда следует, что функция (69) вообще не меняется вдоль кривой q t), т. е. на любом прямом пути. [c.290] Покажем теперь, как, используя только теорему Нётер, можно получить все законы сохранения (периые интегралы), которые были установлены выше из иных соображений. [c.290] Таким образом, из теоремы Нётер следует, что при движении обобщенно консервативной системы ее обобщенная энергия Н не меняется. При движении же консервативной системы /У = 7 + I/ и не меняется ее полная механическая энергия. [c.290] Далее мы получим два закона сохранения, имеющие место при рассмотрении замкнутых систем. В связи с этим сделаем следующее общее замечание. Требование замкнутости системы означает, что все силы, действующие на материальные точки системы, зависят лишь от взаимного расположения точек и расстояний между ними. В связи с этим любые преобразования координат, сохраняющие взаимное расположение точек и расстояния между ними, не изменяют уравнения движения, т. е. не меняют вид лагранжиана. [c.291] Равенство (81) есть не что иное, как закон сохранения количества движения в проекции на ось х. [c.292] Совершенно аналогично, используя преобразования типа (80) для сдвига не вдоль оси х, а вдоль осей у п г, устанавливаем сохранение проекций количества движения на оси у н z соответственно. Таким образом, закон сохранения количества движения при движении замкнутой системы в потенциальном поле полностью доказан. [c.292] Вернуться к основной статье