ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Элементы вариационного исчисления. Действие по Гамильтону Вариация действия из "Классическая механика " Такой локальный подход не является единственно возможным при изучении движения. В конечном итоге траектория движения—кривая в некотором пространстве, и поэтому возможен иной подход к изучению движения. При этом подходе интересуются не локальными свойствами движения, а его глобальными свойствами—тем, чем эта траектория движения в целом отличается от других кривых в том же пространстве. [c.272] Если локальному подходу соответствовал аппарат дифференциальных уравнений, то глобальному подходу соответствует аппарат вариационного исчисления. В связи с тем, что основы вариационного исчисления обычно незнакомы студентам к моменту, когда изучается классическая механика, автор вынужден предпослать изложению вопросов, связанных с глобальным подходом, некоторые сведения о вариационном исчислении, ограничиваясь лишь самыми необходимыми фактами мы рассмотрим к тому же не общий, а лишь частный, недостаточный для наших целей случай, когда сравниваются кривые, принадлежащие одному и тому же однопараметрическому семейству (пучку). [c.272] Рассмотрим однопараметрическое семейство кривых, определенных в (п- -1)-мерном расширенном координатном пространстве q , ( . [c.272] Коль скоро параметр а вы бран, функции (40) зависят только от одного аргумента — времени, их можно продифференцировать по времени и подставить полученные выражения и в функционал (41). Тогда функция Ф, стоящая под знаком интеграла, будет функцией только от времени, так что можно вычислить интеграл (41) и после подстановки пределов определить число— значение ф. Таким образом, каждой кривой рассматриваемого пучка (40) функционал (41) ставит в соответствие некоторое определенное число, и в этом смысле на однопараметрическом пучке кривых значение функционала является просто функцией параметра а. Эта функция может при некоторых значениях сс принимать стационарные значения кривые, которые получаются при подстановке в (40) этих значений а, носят название экстремалей. [c.273] Таким образом, экстремалями заданного семейства кривых (40) являются те кривые, на которых функционал имеет стационарные значения. [c.273] Дифференциал 6/ называется вариацией функции /. Вариация, как и всякий дифференциал, представляет собой линейную часть приращения варьируемой функции, но при подсчете вариации приращение функции подсчитывается не при изменении аргумента t, а при изменении параметра а и фиксированном t, т. е. при переходе от одной функции из заданного семейства к другой функции из этого же семейства. [c.274] В вариационном исчислении устанавливается следующая теорема, определяющая необходимые условия стационарности функционала. [c.274] Уравнения (46) были получены Эйлером и носят название уравнений Эйлера вариационного исчисления. [c.274] Мы приводим здесь эту основную теорему вариационного исчисления без доказательств, так как нам предстоит доказать ее в следующем параграфе. [c.274] Записанный так функционал, определенный на пучке (40), носит название действия по Гамильтону и играет важную роль при исследовании движения а потенциэотьных полях. Из сказанного следует, что движение, удовлетворяют, е уравнениям Лагранжа, представляет экстремаль функционала (48). В следующем параграфе мы докажем приведенную выше теорему Эйлера для однопараметрического пучка специального типа, пока же выведем формулу для вариации действия эта формула потребуется нам в дальнейшем. [c.275] Формула (60) является общей формулой для вариации действия, заданного на однопараметрическом пучке (40). [c.277] Вернуться к основной статье