ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Первые интегралы уравнений движения. Скобки Пуассона Циклические координаты из "Классическая механика " Таким образом, в рассматриваемом простейшем примере частные производные, фигурирующие в первых членах уравнений Лагранжа, имеют простой физический смысл —они совпадают с проекциями количества движения (импульса) точки на оси х, у W г. [c.260] Определитель матрицы, составленный из коэффициентов Ду, отличен от нуля в силу основной теоремы лагранжева формализма. [c.261] Таким образом, если в некоторый момент известны обобщенные координаты и обобщенные скорости, то по формулам (9) можно подсчитать обобщенные импульсы. Наоборот, если в некоторый момент известны обобщенные координаты и обобщенные импульсы, то по формулам (12) всегда можно подсчитать обобщенные скорости. В этом смысле безразлично, задавать ли в каждый момент помимо обобщенных координат обобщенные скорости или обобщенные импульсы. [c.261] Совокупность обобщенных координат, обобщенных скоростей и времени называют лагранжевыми переменными некоторой системы, а совокупность для этой же системы обобщенных координат, обобщенных импульсов и времени —ее гамильтоновыми переменными. Задания движения системы в лагранжевых и гамильтоновых переменных эквивалентны в том смысле, что всегда существует взаимно однозначный переход от одной системы переменных к другой. [c.261] Понятие гамильтониана является одним из центральных понятий при изучении движения в потенциальных полях. С этим понятием нам предстоит иметь дело на протяжении всей главы. [c.262] В правых частях уравнений (20) стоят функции только гамильтоновых переменных. Поэтому система уравнений (20) замкнута относительно этих переменных и представляет собой систему 2п дифференциальных уравнений первого порядка, которые полностью определяют изменение во времени координат q и обобщенных импульсов р, если заданы начальные условия, т. е. значения координат и импульсов в момент = 0. Если заданы начальные значения лагранжевых переменных, то, используя формулы (9), можно подсчитать начальные значения обобщенных импульсов, получить таким образом начальные данные для уравнений (20), и, проинтегрировав эту систему уравнений, полностью определить движение в гамильтоновых переменных. Зная, как изменяются во времени координаты и обобщенные импульсы, можно затем, если это необходимо, по формулам (12) подсчитать, как изменяются во времени скорости q. [c.263] В этом смысле уравнения (20) представляют собой эквивалент уравнений Лагранжа (4). Уравнения (20) разрешены относительно старших производных и представлены в симметричной и удобной форме. Их называют каноническими уравнениями или уравнениями Гамилыпона для движения в потенциальных полях. [c.263] Равенство (19), полученное нами дополнительно, устанавливает важные свойства гамильтониана частные производные гамильтониана и лагранжиана по времени отличаются лишь знаком. Отсюда сразу следует, что в том случае, когда лагранжиан не зависит явно от времени, гамильтониан также не зависит явно от времени. [c.263] Выясним теперь физический смысл гамильтониана Н натуральной системы. [c.264] Таким образом, у натуральной системы при стационарных преобразованиях координат в любой момент врежни гамильтониан численно совпадает с полной энергией системы. [c.264] Если V не зависит явно от т. е. если система консервативна, то Е, а значит и //, не изменяется во время движения. [c.264] В тех случаях, когда система не консервативна, но имеет место равенство (24) i), формула (25) устанавливает интеграл уравнений движения, подобный интегралу энергии в натуральных консервативных системах. Поэтому при выполнении условия (24) гамильтониан называется обобщенной энергией, а утверждение (25) — обобщенным законом сохранения энергии. Системы, удовлетворяющие условию (24), далее называются обобщенно консервативными системами. [c.265] ЭТИ законы, содержат лишь координаты и их первые производные, но не содержат вторь х производных от координат. В предыдущих главах приводились примеры toi o, как можно использовать законы сохранения для упрощения уравнений движения, а в некоторых случаях для полного определения движения в обход трудностей, с которыми сопряжено интегрирование дифференциальных уравнений движения в общем виде. [c.266] В этом случае все координаты и обобщенные импульсы полностью определены как функции времени и 2п констант. Эти константы могут рассматриваться как произвольные постоянные, обычным образом определяемые по начальным данным. Поэтому 2п первых интегралов полностью определяют движение системы при любых начальных данных. [c.266] Если система первых интегралов (27) содержит менее 2п равенств, т. е. если т с2п, то знания m первых интегралов недостаточно для того, чтобы полностью определить движение, однако эти первые интегралы можно использовать для того, чтобы упростить уравнения движения, в частности, для того, чтобы снизить порядок системы дифференциальных уравнений, описывающих движение. [c.266] Определим теперь условия, которым должна удовлетверять какая-либо функция гамильтоновых переменных для того, чтобы быть первым интегралом уравнений движения. [c.267] Это условие является необходимым и достаточным, для того, чтобы функция f q, р, t) была первым интегралом. Его можно записать компактнее, если ввести понятие скобки Пуассона. [c.267] Однако очевидно, что полученный так первый интеграл не является независимым —он гюлучается как следствие уже имевшихся ранее т первых интегралов. Поэтому такое размножение первых интегралов уравнений движения лишено смысла. [c.267] Иной прием для получения новых первых интегралов из уже известных связан с введенным выше понятием скобки Пуассона. [c.267] Вернуться к основной статье