ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Гармоническая вынуждающая сила. Частотная характеристика . 2. Периодическая, но не гармоническая вынуждающая сила из "Классическая механика " Предположим теперь, что стационарная система совершает колебания вблизи положения асимптотически устойчивого равновесия, но в отличие от случая, рассмотренного выше, будем предполагать, что на систему помимо обобш,енных сил, зависящих от обобщенных координат и скоростей, действует также и обобщенная сила, зависящая явно от времени. [c.241] Что касается общего решения однородной системы q, то оно находится по общим правилам интегрирования линейных однородных уравнений и в рассматриваемом случае движения вблизи положения асимптотически устойчивого равновесия заведомо стремится к положению равновесия при неограниченном возрастании времени t. В связи с этим движение q t) стремится в пределе к движению q (t), которое обусловлено наличием в правых частях уравнений зависящей явно от времени вынуждающей силы (t). [c.242] В этом разделе мы будем изучать только вынужденные движения, помня о том, что общее движение складывается из вынужденных и из свободных движений. [c.243] Рассмотрим уравнения (55), в которых Qi t) определяется выражением (59), а С 2 = 3з= =Q = 0- Нас интересует частное решение такой системы дифференциальных уравнений. Зная эго решение и учитывая формулу (60), можно выделить в полученном решении мнимую часть и найти истинные вынужденные колебания. [c.243] Уравнения (62) представляют собой систему линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных 5 коэффициентами этих уравнений являются комплексные величины, определяемые по формулам (63). [c.244] Легко видеть, что если в этом определителе заменить iQ на комплексное переменное к, то он совпадает с характеристическим полиномом (24). Но у асимптотически устойчивой системы все нули характеристического полинома расположены слева от мнимой оси. Поэтому в таком случае определитель (66) отличен от нуля при любом й. [c.244] В числителе в формуле (65) стоит определитель Д, — алгебраическое дополнение расположенного в первой строке и k-ы столбце элемента определителя Д. [c.244] Как определитель Д, стоящий в знаменателе выражений (65) и не зависящий от индекса k, так и определители Д1, стоящие в числителе этих выражений, представляют собой полиномы от Й с комплексными коэффициентами. Поэтому отношение определителей в выражении (65) является дробно-рациональной функцией. Вид этой функции зависит от к. Заметим здесь же, что степень числителя в любом случае не превосходит степени знаменателя. Более того, легко видеть, что в невырожденных случаях степень числителя заведомо меньше степени знаменателя. [c.244] Сравнивая формулы (69), определяющие вынужденные движения, возникшие благодаря действию вынуждаюш,ей силы (58), с выражением для этой силы, устанавливаем, что в этом случае вынужденн1.1е движения представляют собой гармонические колебания той же частоты, но с иными амплитудами и со сдвигом фаз. Амплитуды и фазы вынужденных колебаний полностью определяются введенной выше комплексной функцией F (tQ), и для данной системы зависят поэтому только от частоты внешней силы 13. [c.245] ЭТОТ годограф стягивается к нулю (как уже было указано выше, в выражении (67) степень знаменателя в невырожденных случаях выше степени числителя). Если теперь отдельно рассмотреть изменения модуля и аргумента вектора W (Ш) в зависимости от Q, то получатся характеристики, которые называются соответственно амплитудной и фазовой характеристиками системы (рис. V1.13 и VI.14). [c.246] Из изложенного следует, что в случае, когда частота внешней силы приближается к любой из собственных частот консервативной системы, амплитуды вынужденных колебаний всех ее обобш,енных координат неограниченно возрастают i). [c.248] Эти три характеристики показаны на рис. VI. 18. [c.249] Читателю рекомендуется самому найти явное выражение для вынужденных колебаний консервативной системы с п степенями свободы, придерживаясь следующего плана. [c.249] Вернуться к основной статье