ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Критерии асимптотической устойчивости линейного приближения из "Классическая механика " Действительно, если подставить в полином (25) в качестве Я отрицательные действительные числа или комплексные числа с отрицательной действительной частью и учесть, что последние входят в эти произведения лишь комплексно сопряженными парами (так как коэффициенты полинома — действительные числа), то получится полином, в котором все коэффициенты отличны от нуля и положительны. [c.221] Необходимое условие позволяет сразу исключить из рассмотрения полиномы, в которых имеются отрицательные коэффициенты либо пропуск членов, — такие полиномы заведомо не являются гурвицевыми. Приступим теперь к рассмотрению критерия устойчивости в случае, когда это необходимое условие выполнено. [c.221] Старший определитель Гурвица имеет порядок т. Первая строка определителя образована всеми коэффициентами с нечетными индексами, вторая—с четными, а каждая следующая пара строк представляет собой предыдущую пару, сдвинутую на один столбец вправо. Освобождающиеся при этом места, а также места определителя, куда следовало бы вписать коэффициенты /4 с индексом, большим т, заполняются нулями. [c.222] Рассмотрим теперь комплексную плоскость, по осям которой отложены значения U и V . Подставляя в функцию (29) последовательно значения со от О до -[-со, можно по точкам построить годограф этой комплексной функции (см. рис. VI.5, на котором стрелкой указано направление роста со). Если менять ы от О до —со, то построенный таким образом годограф будет зеркальным отображением относительно действительной оси годографа, построенного для положительных значений со. В самом деле, при замене ю на — со значение функции (У (со), содержащей только четныэ степени со, не меняется, а функция V (со), содержащая только нечетные степени со, меняет знак. Часть годографа, соответствующая отрицательным значениям со, показана на рис. VI.5 штриховой кривой. [c.223] Построенный таким образом Рис. VI.5. [c.223] Критерий Михайлова утверждает следующее для того чтобы характеристический полином был гурвицевым, необходимо и достаточно, чтобы годограф Михайлова начинался при о) = 0 на действительной положительной полуоси и чтобы при изменении ш от О до -роо аргумент характеристического вектора монотонно возрастал от нуля до тл/2. [c.224] При выполнении условий этого критерия годограф Михайлова последовательно проходит первый, второй, третий, четвертый, пятый (т. е. вновь первый) и т. д. квадранты плоскости U, V, уходя в бесконечность в т-и квадранте. [c.224] Вернуться к основной статье