ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Использование уравнений Лагранжа для описания движения систем с механическими связями из "Классическая механика " До сих пор мы рассматривали систему материальных точек в предположении, что ничто не ограничивает движения точек и что это движение предопределяется действующими на точки силами, в частности, силовыми полями. При этом наличие иных материальных объектов в пространстве, не принадлежащих к рассматриваемой системе, было существенно лишь в том отношении, что эти объекты могли создавать силовые поля (например, поле всемирного тяготения, магнитное поле и т. д.), но сами по себе не препятствовали движению рассматриваемой системы. Иначе говоря, до сих пор мы пренебрегали тем фактом, что посторонняя для изучаемой системы материя сама занимает некоторое место в пространстве и, следовательно, точки нашей системы уже не могут занимать того же самого места. Такая идеализация приемлема для многих задач физики. В технике приходится считаться с кардинально иной постановкой задачи например, при движении частей машин место, занятое какой-либо деталью, уже не может быть занято в тот же момент другой деталью, и это накладывает ограничения на свободу движения изучаемой системы. [c.144] Любые ограничения, накладываемые на движение исследуемой системы тем фактом, что материя занимает место в пространстве и поэтому в той или иной мере препятствует движению исследуемых материальных точек, называются механическими связями. [c.144] Последний пример отличается от ранее рассмотренных в двух отношениях во-первых, ограничения обусловили не одно, а два равенства ((54) и (56)) одновременно во-вторых, условие (56) накладывает ограничения не только на координаты, но и на скорости, и выражается поэтому не конечным равенством, а дифференциальным уравнением по отношению к координатам точек. [c.146] Этих примеров достаточно, чтобы иллюстрировать следующую классификацию механических связей (рис. IV.7). [c.147] Механические связи подразделяются на два основных класса на связи удерживающие и неудерживающие. [c.147] Механическая связь называется неудерживающей, если накладываемые ею на координаты точек ограничения выражаются неравенствами, как это имело место в первом из рассмотренных примеров. Такого рода механические связи имеют место обычно в тех случаях, когда запрещается пребывание точки в некоторой части пространства. Далее мы будем интересоваться лишь удерживающими связями, и поэтому дальнейшая классификация неудерживающих связей на рис. IV.7 опущена. [c.147] В тех случаях, когда связи накладываются не только на координаты, но и на скорости, и поэтому приводят к дифферен-циальпым уравнениям, возможны два варианта в зависимости от того, можно ли проинтегрировать эти уравнения. Если дифференциальные уравнения связи могут быть проинтегрированы, то они записываются в конечном итоге в виде конечных соотношений, но эти конечные соотношения содержат также и произвольные постоянные, которые естественным образом вводятся при интегрировании дифференциальных уравнений. В тех случаях, когда дифференциальное уравнение механической связи не может быть проинтегрировано, необходимо учитывать уравнения связи в исходной форме дифференциального уравнения. В связи с этим механические дифференциальные связи подразделяются на дифференциальные интегрируемые и на дифференциальные неинтегри-руемые 1). [c.148] Конечные связи и дифференциальные интегрируемые связи составляют класс голономных механических связей, а дифференциальные неинтегрируемые связи —класс неголономных связей. Соответственно системы, содержащие лишь конечные или дифференциальные интегрируемые связи, относятся к классу голономных систем., а системы, содержащие дифференциальные неинтегрируемые связи, — к классу неголономных систем. Далее мы не будем заниматься неголономными связями, и поэтому опускаем их классификацию (рис. IV.7). Что же касается голономных связей, то их можно подразделить далее в зависимости от того, содержат ли равенства, выражающие эти связи, в явной форме время. В тех случаях, когда эти равенства не содержат время явно, механическая связь называется стационарной или склерономной. В тех случаях, когда время явно входит в эти равенства, связь называется нестационарной или реономной. Обычно стационарные связи имеют место в тех случаях, когда поверхности или кривые, на которых должны находиться материальные точки, либо расстояния между этими точками не меняются со временем. Наоборот, в тех случаях, когда материальные точки должны находиться на кривых или поверхностях, которые сами меняются со временем, связи оказываются реономными. [c.148] В тех случаях, когда уравнения дифференциальных связей линейны относительно скоростей, известны условия, при которых соответствующие дифференциальные уравнения могут быть проинтегрированы. [c.148] Всюду далее, говоря о механических связях, мы будем иметь в виду голономные связи, стационарные либо нестационарные. Соответствующие соотношения мы будем записывать для конечных связей, имея в виду, что наличие произвольных постоянных в выражениях для связей не меняет последующих рассуждений. [c.149] Координаты точек X , г/ , Zi должны удовлетворять этим г соотношениям. Они содержат t явно лишь в том случае, когда механические связи реономны. [c.149] Этим соотношениям должны удовлетворять скорости точек Xi, yi, z/. в случае склерономных связей уравнения (59) не содержат частной производной по явно входящему времени, dFjdt = (). [c.149] Любые скорости точек, которые удовлетворяют соотношениям (59), называются возможными скоростями, а любые бесконечно малые перемещения в направлении возможных скоростей, удовлетворяющие, следовательно, соотношениям (57), называются возможными перемещениями. Таким образом, возможные скорости и перемещения — это соответственно скорости и перемещения, допускаемые наложенными на систему голономными связями. [c.149] ЯВНО входящему времени оказывается поэтому равной нулю. В силу этого для замороженных реономных связей п соотношениях (59) исчезает первый член — частная производная по явно входящему времени. [c.150] В случае реономных связей скорости, удовлетворяющие уравнениям замороженных реономных связей (т. е. уравнениям (59), из которых выброшен первый член), называются виртуальными скоростями, а перемещения вдоль виртуальных скоростей, т. е. [c.150] На рис. IV.8 повторен пример, представленный ранее на рис. IV.4, в двух случаях а) реономная связь считается замороженной , т. е. остановленной, и б) реономная связь рассматривается без каких-либо изменений в том виде, в каком она действительно наложена на систему. Сплошными стрелками показаны возможные перемещения точки в случае б). Виртуальные перемещения совпадают с касательной к параболе в той ее точке, где в данное мгновение находится материальная точка, а возможные перемещения зависят также и от скорости движения параболы и по направлению, вообще говоря, не совпадают с касательной. [c.150] Для систем со склерономными механическими связями возможные и виртуальные скорости (и соответственно — возможные и виртуальные перемещения), естественно, совпадают. [c.150] Число степеней свободы и обобщенные координаты. Для того чтобы полностью описать движение материальной системы, содержащей N точек и лишенной каких-либо механических связей, нужно задать ЗЛ/ величин — этими величинами являются 2 N координат точек. Иначе обстоит дело в системах с механическими связями. [c.150] Вернемся теперь к случаю, когда задано г связей, т. е. задано г соотношений вида (57). Если якобиан этих функций отличен от нуля (а далее это всегда предполагается), то условия (57) могут быть использованы для того, чтобы выразить г из декартовых координат точек через остальные. Поэтому для того, чтобы задать положение N точек, нужно знать не N, а 3N — г координат остальные г координат найдутся из соотношений (57). Для того чтобы определить положение системы в этом случае, разумеется, не обязательно использовать 3N — г декартовых координат —как в приведенных примерах, так и в общем случае можно подобрать иные независимые величины, определяющие положение всех точек системы. [c.151] Наименьшее число независимых величин, которое надо знать для того, чтобы полностью определить положение всех точек голономной системы, называется числом степеней свободы системы. Условимся число степеней свободы обозначать буквой п. Если точка не стеснена механическими связями, то положение ее определяется тремя величинами — ее координатами, и поэтому число степеней свободы точки равно трем. Соответственно число степеней свободы системы, содержащей N точек, не стесненных механическими связями, равно 3N. При плоском движении одна точка имеет две степени свободы, а система, состоящая из N точек, имеет число степеней свободы, равное 2N. В примере, представленном на рис, IV.3, б и IV.4, система состоит из одной точки и имеет одну степень свободы. В примере, представленном на рис. IV.5, число степеней свободы равно 3. В общем случае системы, содержащей /V точек и стесненной г механическими связями, как уже было указано выше, число степеней свободы равно ЗМ — г. [c.151] Вернуться к основной статье