ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Ковариантнаи форма уравнений движения (уравнения Лагранжа) из "Классическая механика " Предположим теперь, что рассматривается система, которая не удовлетворяет условиям основной модели классической механики по другой причине состав системы во время изучаемого движения не остается постоянным, а изменяется. Начнем с нескольких простых примеров. [c.107] В качестве первого примера рассмотрим движение трубки, заполненной мелкими шариками, например дробинками, под действием некоторой силы (рис. П1. 16, а). Предполагается, что трубка закрыта пробкой, массой которой можно пренебречь (на рисунке эта пробка обозначена буквой Л) и то во время движения дробинки не высыпаются из трубки и не добавляются в нее. Тогда трубка и дробинки — система постоянного состава, и к ним применимы законы и теоремы механики. [c.107] В качестве следующего примера рассмотрим ротор гидравлической турбины, условно изображенный на рис. 111.19. Непрерывный поток воды через турбину является равномерным, и количество воды, заполняющей промежутки между лопатками турбины, не меняется во времени. С точки зрения механики системы постоянного состава ротор турбины уравновешен и нет непосредственных причин для создания вращающего момента. Между тем только за счет протока воды через турбину возникает вращающий момент, достаточный для работы, скажем, мощных динамомашин. [c.108] Введем теперь в рассмотрение две материальные системы. Прежде всего мы будем рассматривать систему постоянного состава, образованную теми материальными точками, которые находились в объеме W в начальный момент 1 = т. е. частицы, отмеченные крестиками. Со временем эти точки, вообще говоря, выходят из объема W. Такую систему поспюянного состава (но переменного объема) назовем системой 2. По отношению к этой системе верны теоремы, доказанные в этой главе, в частности, теорема об изменении количества движения. [c.111] Наряду с этой системой 2 будем рассматривать другую систему, состоящую в любой момент из материальных точек, заполняющих фиксированный объем W часть материальных точек выходит из этой системы и далее в ее составе нами не учитывается, часть же точек входит в эту систему извне. Такую систему будем называть системой W. Система W является системой постоянного объема (но переменного состава). [c.111] Разумеется, в каждое мгновение можно вычислить векторы количества движения Qy. и Qy-/ для систем Z и W. [c.111] Здесь Аб у,од — количество движения частиц, уходящих из объема W за время А (т. е. частиц, отмеченных крестиком, но не находящихся в этот момент в объеме W) соответственно AQ phx количество движения частиц, приходящих за время At в объем W извне (т. е. частиц, отмеченных на рис. 111.21,6 кружками). [c.111] Непосредственно видно, что этими пределами служат векторы, имеющие размерность силы. Это следует, впрочем, сразу и из формулы (83). [c.112] Соотношение (86) верно как в инерциальных, так и в неинер-циальных системах отсчета, так как при его выводе производился лишь подсчет количеств движения. [c.112] Теперь теорему об изменении количества движения для системы переменного состава можно сформулировать так в инерциаль-ной системе отсчета производная по времени от вектора количества движения системы постоянного объема но переменного состава) равна главному вектору внешних сил и дополнительной силы, определяемой формулой (85). [c.112] В силу третьего закона Ньютона при наличии сил, действующих со стороны оболочки на примыкающие к ней частицы, возникают равные и противоположно направленные силы, действующие со стороны этих частиц на оболочку. Обозначим их главный вектор / а оболочку разумеется. [c.113] Формула (92) была получена Эйлером и носит название формулы Эйлера. Она определяет усилие, действующее на оболочку, ограничивающую некоторый объем, через который осуществляется стационарный проток вещества. Из этой формулы следует, что главный вектор сил, действующих на оболочку со стороны вещества, находящегося внутри объема, отличается от главного вектора внешних сил как раз на ту дополнительную силу / доп. которую пришлось добавить к главному вектору внешних сил для того, чтобы к системам переменного состава можно было бы применять теорему об изменении количества движения. [c.113] Учитывая эту формулу, мы могли бы для определения дополнительной силы геометрически сложить векторы и (а не векторы/ рих и/уход) и затем умножить результат на коэффициент т. е. на расход массы. [c.115] Таким образом, для того чтобы применить теорему об изменении кинетического момента относительно какого-либо полюса к системе переменного состава, но постоянного объема, надо к моменту внешних сил относительно того же полюса прибавить дополнительный момент (102). [c.115] Рассмотрим теперь пример использования этого соотношения при подвижном объеме W. При этом мы выберем систему отсчета х, у г, жестко связанную с оболочкой объема W (и, вообще говоря, неинерциальную). В этой системе оболочка W неподвижна и, слздовательно, в выражениях для/ доп и М-оаоп будут фигурировать относительные скорости (скорости относительно системы отсчета х, у, z, жестко связанной с оболочкой U ). [c.116] В качестве неинерциальной системы, для которой выписывается это равенство, рассмотрим вращающуюся систему, связанную с ротором турбины, и подсчитаем Moj. Этот момент складывается из двух моментов, порождаемых осестремительным и вращательным ускорениями соответственно. [c.116] Осестремительное ускорение в каждой точке проходит через О, и поэтому главный момент соответствующих составляющих переносных сил инерции равен нулю.В случае вращения вокруг оси главный момент тангенциальных сил инерции относительно оси равен — Уе, где J —момент инерции ротора вместе с заполняющей его жидкостью относительно оси вращения ). [c.116] Предположим теперь, что скорость жидкости на входе в объем W между двумя лопатками ротора постоянна по величине, одинакова вдоль всего входного сечения и составляет угол ai с радиусом-вектором, проведенным к середине входного сечения (рис. III.24). [c.117] Аналогично скорость на выходе из объема W равна v , одинакова вдоль всего выходного сечения и составляет угол а. с радиусом-вектором, проведенным к середине выходного сечения. [c.117] Пусть теперь ротор турбины с произвольным числом лопаток заторможен, и пусть суммарное пространство 1 жду всеми лопатками составляет объем W. Если поток стационарен, скорости Vi и во всех межлопаточных пространствах одинаковы по модулю и для всех межлопаточных пространств углы aj и одинаковы, то формула (ПО) с обратным знаком определяет дополнительный тормозящий момент, который должен быть приложен сверх момента МооСм-м лля того, чтобы удержать ротор турбины от вращения. Этот момент, добавленный к Мообмм. определяет угловое ускорение ротора. Формула (ПО) была получена Эйлером и называется турбинной формулой Эйлера. [c.118] Вернуться к основной статье