ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Общий случай из "Классическая механика " Мы будем предполагать далее, что Солнце неподвижно относительно некоторой инерциальной системы отсчета и распО ложено в начале координат. [c.81] При движении материальной точки в поле центральной силы всегда действуют два закона сохранения. [c.82] Воспользуемся сначала законом сохранения кинетического момента. Если вектор кинетического момента сохраняется неизменным, то это значит, что, во-первых, сохраняется неизменным направление этого вектора в пространстве и, во-вторых, сохраняется неизменной его величина (модуль). [c.83] Направление вектора кинетического момента перпендикулярно плоскости Р, проходящей через начало координат и через направление скорости точки. Из того факта, что направление этого вектора не меняется во времени, сразу следует, что и плоскость Р неподвижна в пространстве н, значит, векторы скорости лежат во время движения всегда в одной и той же плоскости. [c.83] Таким образом, исходя только из того, что вектор кинетического момента не меняется по направлению, мы показали, что движение в поле центральной силы всегда является плоским движением. Плоскость Р, в которой происходит это движение, перпендикулярна Ка И определяется начальным положением точкп и ее начальной скоростью, так как только от них зависит Kq. [c.83] Доказав, что рассматриваемое движение заведомо является плоским, мы можем ввести в плоскости движения полярную систему координат, характеризуя положение рассматриваемой материальной точки т в плоскости двумя величинами — радиусом г и полярным углом ф (рис. И 1.3). [c.83] Формула (35) допускает наглядную геометрическую интерпретацию. Во время движения точки т по плоской траектории радиус описывает ( заметает ) криволинейный сегмент (рис. III.5). [c.84] Таким образом, при движении в поле произвольной центральной силы движение точки не только является плоским, но и подчиняется так называемому закону площадей, утверждающему, что радиус-вектор за равные промежутки времени ) зажтает равные плош ади. [c.84] используя только тот факт, что кинетический момент не меняется во времени, мы установили второе важное свойство любого центрального движения. Начальными данными, т. е. начальным положением точки и начальной ее скоростью, полностью определяются направление и величина постоянного вектора кинетического момента и тем самым однозначно определяются не только плоскость движения, но и секториальная скорость, с которой это движение происходит. [c.85] Таким образом, одна квадратура позволяет определить t как функцию г, т. е. в неявном виде зависимость г от t. [c.85] Выражение г (t), полученное в результате этого интегрирования, будет содержать три произвольные постоянные. Этими тремя константами, зависящими от начальных данных, являются Ко, Eq и постоянная интегрирования С. Обращаясь теперь к формуле (35) и подставляя в нее выражение г (t), можно с помощью одной квадратуры найти полярный угол ф как функцию времени. При этом интегрировании будет введена еще одна постоянная. [c.85] Все четыре произвольные постоянные ), которые войдут в выражения для г (О и ф(0 можно выразить через начальные данные — координаты и скорость точки в момент t = Q. Найдя таким образом г и ср как функции времени, можно исключить время и определить г как функцию ф, т. е. определить траекторию в полярных координатах. [c.86] Выражение (38) с помошью одной квадратуры определяет полярную координату г как неявную функцию от ф. Как и ранее, функция г(ф) включает три произвольных постоянных К , Eq и С. Различия в выражении центральной силы f (г) отражаются лишь на виде выражения для потенциальной энергии П(г). В каждом конкретном случае достаточно подставить в формулу (38) соответствующее выражение П (г), вычислить интеграл и таким образом найти движение. [c.86] И траектория будет целиком лежать между окружностями с радиусами /-lext и Гаех (рис. III.6). Такие движения финитны. Траектории финитных движений могут быть либо замкнутыми, либо незамкнутыми в последнем случае траектория всюду плотно заполняет площадь кольца между указанными окружностями. [c.87] Чтобы продвинуться далее в изучении движений в центральных полях, надо конкретизировать вид центральной си1ы, т. е. задать выражение для потенциальной энергии в формуле (38). [c.87] Ниже мы рассмотрим движение точки в поле всемирного тяготения. [c.87] Вернуться к основной статье