ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Инвариантность и ковариантность законов механики. Принцип относительности Галилея из "Классическая механика " Это утверждение можно трактовать как динамическое следствие предположения об однородности пространства — если бы законы механики зависели от положения начала координат, то существовали бы динамические способы, позволяющие различить точки пространства друг от друга, выделить преимущественные точки. [c.44] Это утверждение — динамическое следствие предположения об изотропности пространства так как если бы оно не было верно, то существовали бы динамические методы для различения одних направлений от других. [c.44] Таким образом, законы механики не устанавливают преимуществ для какого-либо выбора начала отсчета времени и не противоречат поэтому предположению об однородности времени. [c.45] Разумеется, законы механики не должны изменяться также при любой комбинации этих преобразований, т. е. при выполнении их последовательно одно за другим. [c.45] Теперь надо уточнить, какой точный смысл вкладывается в слова законы и уравнения механики не изменяются при некотором преобразовании . Законы механики, как мы увидим далее, записыраются в виде равенств. В эти равенства в качестве переменных входят координаты, скорости и ускорения материальных точек, подсчитанные по отношению к какой-либо системе отсчета, и функции от этих переменных — координат, скоростей и ускорений. Роль таких функций далее будут играть силы, энергия системы (потенциальная, кинетическая или полная), количество движения (импульс) и иные функции, которые будут введены в рассмотрение в этой и в следующих главах. Говорят, что законы и уравнения механики не меняются при некоторых преобразованиях системы отсчета или что они инвариантны по отношению к этим преобразованиям, если равенства, выражающие законы механики, удовлетворяют следующим двум условиям. [c.45] Г После выполнения преобразований, связанных с переходом к новой системе отсчета, структура равенств в новых переменных имеет совершенно такой же вид, какой она имела в старых переменных. [c.45] МОЖНО было определить движение, должны быть заданы еще и начальные данные. Если в двух различных инерциальных системах взять численно одинаковые начальные данные, то в связи с тем, что законы движения имеют в них одинаковый вид, движения в этих системах будут описываться одинаковыми функциями времени. [c.46] Непосредственно видно, что преобразование любого из перечисленных выше четырех типов не меняет ни вида этих уравнений, ни вида функций f ([ / i — / 21) и (/ 1 — / г) /1 i — г . содержащихся в их правых частях. Для того чтобы получить результат преобразования, нужно всюду в исходных уравнениях просто приписать звездочки к старым переменным Г], Гг и t. [c.46] Если система не является замкнутой, т. е. если учитывается влияние на точки системы других материальных объектов, не входящих в нее, то, вообще говоря, при переходе от одной инерциаль-ной системы к другой структура равенств, выражающих законы и уравнения механики, может изменяться. Часто удается, однако, придать этим равенствам такой вид, чтобы при переходе от одной инерциальной системы к любой другой структура этих равенств сохранялась, хотя вид содержащихся в этих равенствах функций координат и скоростей точек может меняться. В таких случаях говорят, что форма записи законов или уравнений механики ко-вариантна по отношению к преобразованиям в классе инерциальных систем. Подобным же образом можно говорить о ковариантности законов и уравнений механики по отношению к иным классам преобразований систем отсчета. Разумеется, может оказаться, что и у незамкнутой системы имеет место не только ковариантность, но и инвариантность законов механики, но по отношению не к произвольным преобразованиям в классе инерциальных систем, а при каких-либо преобразованиях частного вида. [c.46] Это уравнение описывает, в частности, движение материальной точки в поле тяготения, если центр притяжения ( Солнце ) расположен в начале координат системы отсчета, относительно которой изучается движение. [c.46] Таким образом, в результате преобразования форма уравнений не изменилась, а F как функция новой переменной г отличается от / как функции старой переменной г. Следовательно, рассматриваемое уравнение движения материальной точки представлено в форме, ковариантной относительно сдвигов. Читатель может сам убедиться в том, что это же уравнение инвариантно относительно поворотов вокруг любой оси, но лишь ковариантно относительно галилеевых преобразований. [c.47] Для читателей, знакомых с тензорным исчислением, сделаем следующее важное дополнительное замечание. Одним из исходных предположений в механике является утверждение о том, что все механические величины характеризуются тензорами нулевого, первого или второго ранга, а все законы и уравнения механики представляют собой тензорные равенства. Это значит, что в каждом законе должны содержаться слагаемые, представляющие собой тензоры одного и того же ранга, и из самого определения тензора следует, что любые равенства, выражающие законы и уравнения механики (как для замкнутых, так и для незамкнутых систем), ковариантны по отношению к повороту координат. В отличие от этого ковариантность по отношению к другим преобразованиям не является свойством законов механики, а скорее определяется формой их записи. Одни и те же законы механики могут быть представлены и в ковариантной, и в нековариантной записи. Преимущество ковариантной записи состоит в том, что она не зависит от выбора систем отсчета в пределах соответствующего класса преобразований. [c.47] Понятия об инвариантности и ковариантности законов и уравнений механики являются центральными, и к этим понятиям мы будем неоднократно возвращаться в следующих главах. [c.47] Вернуться к основной статье