ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Дискретные модели в стохастических задачах устойчивости оболочек из "Нелинейные задачи статистической динамики машин и приборов (БР) " Метод интегральных спектральных представлений случайных полей дает удовлетворительное описание процессов потери устойчивости и закритического деформирования неидеальных оболочек при определенных ограничениях. К этим ограничениям относится, прежде всего, предположение о слабом влиянии краевых условий на поведение цилиндрических оболочек средней длины, панелей, опирающихся на жесткий контур, и других тонкостенных конструкций с различными способами закрепления. Решение соответствующих задач строят обычно в форме разложения по некоторой системе базисных функций, удовлетворяющих условиям на кромках, с удерживанием конечного не слишком большого числа членов. Упругую оболочку заменяют таким образом дискретной системой, свойства которой характеризуются коэффициентами разложения функций прогибов, напряжений, деформаций. [c.210] Применим такой подход для исследования устойчивости сжатой цилиндрической оболочки со случайными начальными неправильностями. Особенность задачи заключается в том, что докри-тическое состояние искривленной оболочки является моментным. Поэтому уравнения устойчивости, т. е. уравнения нейтрального равновесия, должны быть получены с учетом изгиба оболочки в до-критической стадии. [c.210] Рассмотрим тонкую цилиндрическую оболочку, срединная поверхность которой имеет начальные отклонения от идеальной формы. Предположим, что внешняя нагрузка вызывает в соответствующей идеальной оболочке чисто безмоментное напряженное состояние. Для вывода уравнений нейтрального равновесия воспользуемся вариационным принципом Треффца [6] с учетом нелинейных соотношений теории оболочек. [c.210] В выражениях (7.42) Ui — потенциальная энергия изгиба U2 — энергия деформации срединной поверхности — кривизны буй — тангенциальные деформации v — коэффициент Пуассона D — цилиндрическая жесткость К = Eh/(l — v ) — приведенная жесткость при растяжении. [c.211] 46) предусмотрено суммирование по повторяющимся индексам. [c.212] Это разложение имеет смысл дискретного спектрального представления случайного поля Wq хи коэффициенты gm, gml, gmn образуют систему случайных величин. [c.213] Таким образом, статистические характеристики докритических усилий могут быть определены на основании функциональных зависимостей (7.57) от параметров начальных неправильностей. [c.214] Переходим к анализу устойчивости. Точное решение уравнения нейтрального равновесия (7.50) затруднительно из-за наличия в правой части (7.50) множителей (7.57). Для построения приближенного решения воспользуемся методом Бубнова —Галеркина. [c.214] Выясним влияние осесимметричных начальных искривлений на статистические характеристики критической силы. В формуле (7.60) осесимметричные отклонения от идеальной формы учитываются параметром Xq. [c.216] Аналогично определяются высшие моменты. [c.216] Если же задача решается с учетом неосесимметричных составляющих начального прогиба, то необходимы массовые вычисления для различных сочетаний / и k, так как параметры Х и Ха зависят от этих волновых чисел. [c.217] Было принято, что случайная величина распределена по нормальному закону с математическим ожиданием (g- ) = 0,3/i и дисперсией о1 = 0,0Сплошной линией показана кривая распределения при т — Ъ. Для реальных оболочек при таком показателе изменяемости соответствующие коэффициенты Фурье близки к нулю. Таким образом, мы заведомо ухудшили условия работы оболочек. Тем не менее снижение критической нагрузки по сравнению с классическим значением практически нейщутимо. Математическое ожидание критической силы для неидеальной оболочки оказалось равным (iV ) = 0,59 против 0,60. [c.218] Мы имеем здесь существенное снижение (IV ) по сравнению с Nq = 0,6. В связи с этим многие специалисты отводят осесимметричным неправильностям решающую роль в процессе потере устойчивости. Однако, как показывают тщательные измерения, формы неправильностей с такими высокими показателями изменяемости, как т = т , практически отсутствуют в реальных оболочках. Основной же причиной снижения критической нагрузки являются неосесимметричные составляющие. [c.218] Явного аналитического выражения для р (N ) в этом случае получить не удается. Интегрирование в (7.69) производится численно. [c.219] Аналогично получается приближенное выражение для дисперсии. [c.219] Как уже указывалось, в случае неосесимметричных неправильностей непосредственная минимизация критической силы невозможна. Для определения N ) необходимы последовательные вычисления при разных сочетаниях волновых чисел. Расчеты, выполненные при ( ) = = 0,3h, подтвердили резкое снижение N ) по сравнению с классическим критическим усилием Nq. Было получено (N ) = 0,13jVq. При этом минимизирующие значения / и сместились в область малых волновых чисел (/ = 3, = 8) по сравнению с классическим случаем (/о = 21, k, = 22). [c.219] Основное различие этих двух методов состоит в том, что операция осреднения по множеству реализаций, или, что то же самое, по генеральной совокупности, осуществляется на разных этапах анализа. Применяя дискретные представления случайных функций Wq (xi, Ху), W (xi, Ха), мы сначала строим приближенное детерминистическое решение, которое устанавливает функциональную связь между входными случайными величинами и интересующими нас параметрами системы. После этого выполняется вероятностный анализ (операция осреднения, преобразование плотности вероятности и т. д.). На этом этапе критическая нагрузка сжатой оболочки выступает как случайная величина со своими статистическими характеристиками. [c.220] В методе интегральных спектральных представлений детерминистические операции на первом этапе, по существу, отсутствуют. После подстановки в исходные уравнения стохастических интегралов Фурье, представляющих случайные функции, необходимо выполнить операцию осреднения, в результате которой происходит переход к вероятностным характеристикам изучаемых полей. Нагрузка на оболочку выступает здесь как детерминированный параметр критическое значение этого параметра определяет точку бифуркации решения нелинейной задачи относительно статистических характеристик поля перемещений. [c.220] Кажущееся противоречие двух подходов разрешается путем сопоставления итоговых результатов. Можно ожидать, что для одной и той же задачи критическая величина параметра нагрузки, найденная по методу интегральных спектральных представлений, будет мало отличаться от среднего или среднего квадратического значения случайной критической силы, определенной на множестве отдельных оболочек. Именно эти статистические характеристики определяются при помощи метода дискретных представлений функций Wo (Xi, Х2), w (Xi, X2). [c.220] Вернуться к основной статье