ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Решения типа краевого эффекта для полубесконечного стержня из "Нелинейные задачи статистической динамики машин и приборов (БР) " Деформации конструкций на упругом основании при статическом и динамическом нагружении существенно зависят от условий закрепления их краев, так как реальные сооружения имеют конечные размеры. Один из методов исследования влияния граничных условий основан на концепции краевого эффекта. [c.182] Флуктуации коэффициента постели будем по-прежнему полагать случайной стационарной функцией гауссовского типа с дробно-рациональной спектральной плотностью. Будем искать решение уравнения (6.44), удовлетворяющее некоторым условиям закрепления балки при л = 0. Воспользуемся для решения поставленной задачи методом моментных уравнений, вывод которых в одномерном случае можно осуществить на основе соотношений теории марковских процессов с непрерывным временем t = х. [c.183] Введем фазовые переменные для описания деформаций балки Ml = w Wa и -, мз = и 4 = и % = i (х). [c.183] Эта бесконечная цепочка уравнений при детерминированных начальных условиях разрывается, образуя замкнутую систему для моментов второго порядка и рекуррентную последовательность уравнений для всех высших моментных функций. [c.185] Прежде чем переходить к построению общего решения задачи на основе характеристического уравнения (6.52), рассмотрим вывод его при помощи метода спектральных представлений. [c.186] Здесь ф1 — четвертая производная по х. Уравнение (6.56) отличается от первого уравнения метода малого параметра, т. е. от детерминированного уравнения, соответствующего среднему значению коэффициента (с) с, наличием интеграла в левой части. Отсюда следует, что средний прогиб ф (х) явно зависит от флуктуаций коэффициента упругости (х) через спектральную плотность 5с (k). [c.187] Особенностью этой системы дифференциальных уравнений является наличие параметра к, по которому в первом уравнении выполняется интегрирование. [c.187] Для выведенной системы необходимо сформулировать дополнительные условия, соответствующие постановке краевой задачи. Если краевые условия детерминированные, то их можно записать через функцию среднего прогиба ф (х), как в детерминированной задаче. Например, для загруженного края Q = р, М = т (на контуре L), где поперечная сила Q и момент М выражаются через Ф (л ). Для функции vj k, х), которая характеризует флуктуации прогиба, на контуре поставим нулевые условия. [c.187] Второе слагаемое в выражении для if имеет смысл частного решения неоднородного уравнения при ф Ф 0. [c.187] Далее выражения ф и г[) подставляем в уравнение (6.56). Предварительно постоянные Ат (k) выражаем через константы j на основе граничных условий для г ). После этого вычисляем интеграл в уравнении (6.56) по волновому числу k. В результате выводим характеристическое уравнение относительно X. После вычисления корней определяем постоянные интегрирования С/ из граничных условий для ф. [c.188] В качестве дополнительных условий мы должны также сформулировать требование ограниченности функции среднего прогиба при неограниченном удалении от края ф оо при л оо. [c.188] После вычисления характеристических показателей определяются постоянные интегрирования j, удовлетворяющие всем дополнительным условиям. Полученное решение имеет характер краевого эффекта и может быть использовано для исследования балок конечной длины в качестве приближенного. Зависимости математического ожидания и дисперсии прогиба от координаты являются затухающими (рис. 6.3). [c.189] Вернуться к основной статье