ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Анализ моментных соотношений по методу редукции из "Нелинейные задачи статистической динамики машин и приборов (БР) " Все корни уравнения (5.11) имеют отрицательные вещественные части, если свободный член больше нуля, т, е. [c.138] Вторые моменты являются экспоненциально затухающими, а тривиальное решение асимптотически устойчиво по Ляпунову с вероятностью единица. [c.138] Случайные функции типа белого шума представляют собой весьма сильную абстракцию реальных процессов. Широкополосный процесс I (/) с постоянной спектральной плотностью обладает бесконечной дисперсией и бесконечной большой мощностью, что противоречит действительности. Для описания фактически протекающих случайных процессов должны использоваться модели, статистические свойства которых могут быть воспроизведены в эксперименте. К таким моделям относят случайные процессы с дробно-рациональными спектральными плотностями, для которых система (5.8) является невырожденной. Уравнения (5.8) описывают некоторый линейный фильтр, на выходе которого формируется реальный процесс. [c.138] Приравнивая к нулю диагональные элементы матрицы (5.19), получаем последовательность характеристических уравнений, корни которых образуют дискретный бесконечный спектр. [c.140] Устойчивость нулевого решения определяется по асимптотическому поведению второго момента (xf). Соответствуюш,ая цепочка уравнений получается из системы (5.20) при т = 2. Так как изучаемые процессы являются веш,ественными, то (xf) 0. Следовательно, механический смысл будут иметь лишь веш,ествен-ные корни уравнения (5.20). Смена знака корня происходит при Л = О, соответствуюш,ее сочетание параметров является критическим. [c.140] Это уравнение описывает асимптотическую границу, левее которой всегда обеспечивается устойчивость В общем случае уравнений (5.7), (5.8) аналитическое выражение для асимптотической границы получить затруднительно, анализ может быть выполнен лишь численно. [c.141] Будем условно называть формой потери устойчивости совокупность постоянных Атп, соотвстствующих взаимным моментным функциям (xfyl) при критическом сочетании параметров. Степень переменной xj при этом фиксирована (например, т = 2), а степень функции уи. принимает все возможные значения п = О, 1, 2. .. [c.141] Известны и другие решения задачи устойчивости, которые получаются с использованием некоторых дополнительных условий. Например, в работе [2] для замыкания усеченной системы было предложено выражать старшие моменты порядка выше т п через младшие на основе соотношений, справедливых для гауссовских процессов.. Рассмотрим этот способ подробнее. [c.142] Бесконечная система относительно коэффициентов Атп распадается. Совокупность коэффициентов А о, Ami, Атп определяется с точностью до произвольной постоянной из замкнутой системы после применения условия (5.24). Коэффициент Ajn,n+i выражается через А о на основе (5.24). Остальные постоянные Аш,п ч, Ат,п+з,. ..вычисляются ИЗ второй части бесконечной системы, имеющей теперь рекуррентную структуру. При этом вся система в целом строго удовлетворяется. Найденная таким образом форма не имеет нулевых коэффициентов. [c.142] Здесь I t) — дельта-коррелированная случайная функция с интенсивностью s = 4аа 0 , где 0 0о + а . [c.143] Для анализа устойчивости достаточно изучить поведение моментных функций вида хху уТ (xiXiyTyf), (хгг/Гг/г) при т, п-0.1,2. [c.143] На рис. 5.2 представлены результаты расчетов по изложенной методике. Сплошными линиями показаны границы области устойчивости при возрастании уровня замыкания п (область устойчивости слева от границ). При выбранных параметрах затухания и широкополосности (г, а) характерным является существенное снижение критической дисперсии воздействия при 0 = 2Q (аналог главного параметрического резонанса). [c.144] Спектр границ здесь также образует сходящуюся последовательность. Для инженерной практики наибольшее значение имеет асимптотическая граница, левее которой устойчивость решения гарантируется. Другие границы спектра также представляют практический интерес. [c.144] Штриховые линии на рис. 5.2 характеризуют потерю устойчивости моментных функций вида xiyTyT), х2уТу2), которые содержат фазовые переменные Хи в первой степени. Эти линии не определяют устойчивость стохастического решения, однако они могут быть использованы как оценки верхней грани выборочных значений критических сочетаний параметров. Для моментов указанного типа потеря устойчивости может происходить при чисто мнимых характеристических показателях i, а соответствующие частные решения могут иметь осциллирующий характер (участки кривых выше точек излома). На рис. 5.3 показаны аналогичные границы области устойчивости, построенные при других сочетаниях параметров. На этих графиках более четко выражены области побочных параметрических резонансов. [c.145] Более существенное количественное и качественное влияние оказывают аддитивные помехи (рис. 5.4, б). Как видно на графиках, интенсивное широкополосное воздействие может резко исказить форму области динамической неустойчивости, соответствующей чисто периодическому возбуждению. При этом зона главного параметрического резонанса сглаживается , в зоне малых частот область неустойчивости расширяется. [c.147] Вернуться к основной статье