ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Принцип максимума энтропии стационарного состояния динамической системы из "Нелинейные задачи статистической динамики машин и приборов (БР) " Воспользуемся гиббсовским определением энтропии для постановки вариационных задач статистической динамики механических систем. [c.40] Внешнюю силу q (t) представим как дельта-коррелированный случайный процесс типа белого шума с интенсивностью s. [c.40] Плотность вероятности равновесного состояния, т. е. стационарного процесса, не зависит от времени i, значение энтропии будет максимальным по сравнению с переходным режимом. [c.41] В задачах статистической физики распределение р (х , Xg /), по существу, постулируется в зависимости от особенностей термодинамической системы. Так, для адиабатических процессов принимают микроканоническое распределение Гиббса, для изотермических систем вводят каноническое распределение. Особенность задач статистической динамики заключается в том, что фазовая плотность вероятности априори не известна, р (х, /) является искомой функцией. При этом энтропия S приобретает смысл функционала. [c.41] Зависимость распределения от параметров системы и внешних воздействий определяется уравнением движения (2.7). Однако при произвольном случайном воздействии, не выражающемся в виде белого шума , из уравнения (2.7) невозможно установить вид функции р (х, t). В общем случае, используя операцию осреднения по множеству реализаций, на основании уравнений движения типа (2.7) можно составить соотношения относительно моментных функций фазовых переменных (л ), xjx ), xj-x xi) и т. д. [c.41] В линейных системах определяющими являются моментные функции первого и второго порядков. Для нелинейных систем относительно моментов получается бесконечная связанная цепочка уравнений. Будем считать эти соотношения известными техника их вывода подробно изложена в гл. 4. [c.41] Принцип максимума энтропии, на котором основана данная постановка задачи, нуждается в пояснениях. [c.41] Указанное различие не приводит к противоречию, так как принцип максимума энтропии справедлив для квазистационар-ного перехода к равновесному состоянию, при котором время t выступает как параметр [11 ]. Поэтому набор допустимых функций р (х) в вариационной задаче можно рассматривать как последовательность распределений для квазиравнбвесных состояний. Истинное распределение р (х) доставляет максимум функционалу (2.7). [c.42] Другая особенность вариационной задачи Связана с числом моментных уравнений. Если число дополнительных условий, выраженных через моментные функции, ограничено, то плотность вероятности р (х) может принимать множество значений, удовлетворяющих моментным соотношениям. На этом множестве и определен функционал энтропии (2.7), для которого сформулирована вариационная задача. При неограниченном возрастании числа дополнительных условий в нелинейных задачах статистической динамики мощность множества допустимых р (х) сокращается. В пределе бесконечная система моментных уравнений определяет р (х) единственным образом, если выполняются известные условия Карлемана [20]. При этом вариационная задача об условном максимуме функционала энтропии в принципе вырождается, а сам функционал приобретает дельта-образ-ный вид в пространстве р (х). Тем не менее, как будет показано в следующем параграфе, формальное решение вариационной задачи можно выполнить по методу неопределенных множителей Лагранжа. В результате для частных случаев получаются точные аналитические выражения для плотности вероятности р (х). [c.42] Основной целью разрабатываемой методики является получение приближенных решений при помощи прямых методов для конечного, не слишком большого числа моментных соотношений. В этом случае задача об условном максимуме энтропии не вырождается и формулируется по существу как изопериметриче-ская задача вариационного исчисления. [c.42] Вернуться к основной статье