ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Приближенные методы решения задач о достижении границ из "Нелинейные задачи статистической динамики машин и приборов (БР) " Рассмотрим в качестве примера задачу о случайных колебаниях тонкой упругой панели около нулевого положения равновесия. [c.28] Пусть пологая упругая цилиндрическая оболочка, опертая на прямоугольный контур со сторонами % и а , загружена нормальной распределенной нагрузкой q, а также нагрузкой N, приложенной по криволинейным кромкам (рис. 1.13). [c.29] Будем искать приближенное решение задачи в виде разложения по функциям, удовлетворяющим всем условиям для прогиба w. [c.29] В этом случае эволюция обобщенных координат и обобщенных скоростей будет представлять собой многомерный непрерывный марковский процесс. Совместная плотность вероятностей координат и скоростей должна подчиняться уравнению Фоккера— Планка—Колмогорова, а определение среднего времени, в течение которого изображающая точка достигнет некоторой границы в фазовом пространстве, сводится к краевой задаче для уравнения Понтрягина (1.67). [c.30] Определим хотя бы приближенно границу области в фазовом пространстве, безопасную с точки зрения прощелкивания оболочки. [c.30] Колебания оболочки, описываемые системой уравнений (1.70), (1.71) без правой части, при достаточно малом затухании и малых значениях коэффициентов нелинейности близки к синусоидальным в некоторой области фазового пространства, охватывающей нулевое положение равновесия. При этом нулевое положение равновесия является устойчивым. Наряду с этим существуют также устойчивые положения равновесия, соответствующие про-щелкнутому состоянию оболочки. Переход к колебаниям около прощелкнутого положения равновесия происходит после того, как оболочка преодолеет потенциальный барьер, отделяющий нулевое положение равновесия от прощелкнутого. В этом смысле траекторию изображающей точки, которая соответствует достижению потенциального барьера, можно рассматривать как границу, отделяющую область колебаний около нулевого положения равновесия от области прощелкивания. [c.31] На рис. 1.15 поверхность (1.78) показана в виде линий равной энергии. Вычисления производились при следующих значениях параметров a ja2 = 1, allRh = = 40, N = 0.9Л , , где N , — верхнее критическое усилие панели. Штриховой линией показан водораздел поверхности (1.78), который соответствует потенциальному барьеру оболочки. [c.32] В соотношениях (1.79)—(1.81) Ai и Л а — амплитуды со — безразмерная частота колебаний т — безразмерное время. [c.32] Таким образом, задача об отыскании среднего времени достижения опасной границы сводится к интегрированию уравнения (1.84) с граничным условием (1.85), На функцию (Т), кроме того, накладываются условия непрерывности, ограниченности и двукратной дифференцируемости внутри выбранной области. [c.33] Будем искать приближенное решение уравнения (1.84) по методу Галеркина. При этом функция (Г) должна быть задана в виде ряда, удовлетворяющего условиям (1.85) на границе рассматриваемой области фазового пространства. [c.33] Более точное приближение получим, подбирая аппроксимирующие функции, зависящие от всех координат фазового пространства. [c.33] Вернуться к основной статье