ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Скорость и ускорение точки в полярных и цилиндрических координатах из "Теоретическая механика в примерах и задачах Т1 1990 " Первая называется радиальной скоростью, вторая — трансверсальной скоростью. [c.368] Определить траекторию точки, ее скорость и ускорение, а также радиус кривизны траектории. [c.368] Решение. Уравнения движения точки, заданные в полярной системе координат, можно рассматривать как параметрические уравнения траектории точки. Параметром является время.. [c.368] Это уравнение плоской кривой, называемой архимедовой спиралью (рис. а). Кривая начинается в центре полярных координат, так как при угле ifi = О радиус-вектор = 0. [c.369] Пользуясь этими равенствами, можно дать следующее определение архимедовой спирали это кривая, которую опишет точка, движущаяся с постоянной скоростью Ь по лучу, вращающемуся вокруг точки О с постоянной угловой скоростью к. [c.369] Находим, далее, трансверсальную скорость (рис. б). [c.369] Определить траекторию точки, ее скорость и ускорение, а также радиус кривизны траектории. [c.372] Следовательно, если отложить на перпендикуляре, восставленном в точке О к радиусу-вектору любой точки М, отрезок ON = —Ьк, то, соединяя полученную точку N с точкой М, найдем направление касательной к гиперболической спирали в точке М, совпадающее с направлением скорости точки М. Это построение предложено Н.Е. Жуковским (рис. в). [c.373] Абсолютное ускорение точки М направлено по радиусу-вектору к полюсу О. [c.374] Определить траекторию точки, ее скорость и ускорение, а также радиус кривизны траектории. [c.374] На этом соотношении между углом ip и радиусом-вектором р основано приводимое ниже построение траектории точки — логарифмической спирали. [c.374] Таким образом, угол касательной с радиусом-вектором для любой точки логарифмической спирали од1 н и тот же. Пользуясь этим свойством легко построить касательную в любой точке логарифмической спирали. [c.376] Переходим к определению ускорения точки. [c.376] Таким образом, у логарифмической спирали радиус кривизны кривой прямо пропорционален радиусу-вектору. [c.376] Определить скорость и ускорение точки как функцию полярного угла и его производ,иых. [c.377] Кроме определения кардиоиды, данного в условиях задачи, дадим и другое ее определение. Кардиоида является конхоидой окружности, получающейся при увеличении радиуса-вектора каждой точки данной окружности на постоянный отрезок, равный радиусу этой окружности. Если уравнение кривой (в данном случае окружности) записано в полярных координатах р = то уравнение ее конхоиды р =/(ч ) /. В случае кардиоиды ее уравнение р = f ) + Ь, где Ь — радиус-первоначальной окружности. [c.377] Переходим к определению скорости точки М (рис. в), движущейся по квадратнее. [c.379] Проводим в точке М ось перпендикулярно к радиусу-вектору р до пересечения с перпендикуляром к оси j , восставленным в точке/4 квадратисы. Точку пересечения этих прямых обозначим буквой N. Соединяем, далее, начало координат с точкой N прямой ON. Проведем через точку М перпендикуляр ME к прямой ON и докажем, что ME является касательной к траектории точки М Следовательно, абсолютная скорость точки Л/должна быть направлена по ME. [c.379] Вернуться к основной статье