ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Переход от уравнений движения в декартовых координатах к естественному Уравнению движения . 3. Переход от уравнений движения в полярных и цилиндрических координатах к естественному уравнению движения из "Теоретическая механика в примерах и задачах Т1 1990 " При исследовании движения точки в пространстве часто пользуются сферическими и цилиндрическими координатами. [c.297] Цилиндрическими координатами точки М являются полярные координаты р и If проекции Ml точки М на неподвижную плоскость хОу и высота Z точки Л/над этой плоскостью (рис. 3.4). [c.297] Уравнения движения точки в цилиндрических координатах p = pit), = р(0, z=z(f). [c.297] В каждой точке пространства пересекаются три координатные линии. Каждой точке соответствуют три единичных вектора р, е , ег, направленные по касательным к координатны1 и линиям. На рис- 3,5 показаны орть цилиндрических, координат, Орты вр, е , изменяются от точки к точке. [c.298] Сферическими координатами точки 71/ являются (рис. 3.6) расстояние р = ОМ от центра сферической системы координат угол между полуплоскостью нулевого меридиана (на рисунке совпадает с полуплоскостью x(9z) и полуплоскостью zOM, называемый географической долготой, угол в между осью z и радиусом-вектором ОМ, отсчитываемый от оси Z, называемый геоградбычеслгой широтой. [c.298] Сферические координаты криволинейные. Координатными линиями сферической системы координат являются меридианы, параллели и прямые, проходящие через начало координат. На рис. 3.7 показаны орты сферической системы координат. Каждой точке пространства соответствует тройка единичных векторов ер, е , е , касательных к координатным линиям в данной точке. Эти орты меняются от точки к точке. [c.299] Полярные, сферические, цилиндрические системы координат в отличие от декартовых называются криволинейными координатными системами. [c.299] Задача 3.1. Кривошип ON длиной а вращается вокруг оси, перпендикулярной к плоскости рисунка и проходящей через точку О. Угол ip между неподвижной осью Ох и кривошипом изменяется пропорционально времени р = kt. [c.300] Составить уравнения движения точки N в декартовой системе координат. Найти уравнение ее траектории. Определить время одного полного оборота точки N и момент времени, когда обе координаты точки равны между собой. [c.300] Это и будут искомые уравнения движения точки N. [c.300] Это уравнение траектории точки N определяет окружность радиусом а с центром в начале координат. [c.301] Задача 3.2. Положив в предьщущей задаче угол ip равным kt + 3, где Л и /3 постоянные величины, определить движение точки М, являющейся проекцией точки N на ось Ох. [c.301] Величина а называется амплитудой колебания, kt + Q называется фазой колебания, а /3 — начальной фазой колебания. Расстояние между двумя крайними положениями точки М, равное 2а, называется размахом колебаний. [c.302] Уравнение (4) при произвольном значении е есть уравнение эллипса. Из этого уравнения видно, что наибольшие и наименьшие значения переменных соответственно будут а для х н Ь тя у. Таким образом, во всех случаях эллипс вписывается в прямоугольник со сторонами 2ая2Ь. [c.303] Следовательно, когда фазы взаимно перпендикулярных колебаний одинаковы, эллипс вырождается в Две совпадающие прямые линии, являющиеся диагональю прямоугольника (рис. д). [c.303] с увеличением е от тг до 2тг процесс повторяется, являясь зеркальным отобраяданием первой половины процесса (рис. е, ж,з). [c.304] как в разобранном примере, частоты обоих взаимно перпендикулярных колебаний равны, то разность фаз е остается постоянной и эллиптическая траектория точки неизменна. Если же, как это бывает в большинстве технических приложений, между частотами обоих колебаний существует малая разница, то траектория колеблющейся точки может быть представлена с достаточной точностью одним эллипсом лишь Для нескольких периодов. Затем этот эллипс меняется в соответствии с изменением величины е, проходя разобранные выше стадии. [c.304] В этих уравнениях Vo,a,g — постоянные величины. [c.304] Определить уравнение траектории точки, наибольшую высоту h ее подъема над уровнем начального положения, расстояние s по горизонтали, при котором точка достигнет наивысшего положения, а также дальность полета точки по горизонтали I (см. рисунок). [c.304] Из аналитической геометрии известно, что это есть уравнение параболы с осью симметрии, параллельной оси у. Действительно, каждому значению у соответствуют два значения х. Эта парабола проходит через начало координат, так как значения координат х = О, у = О удовлетворяют ее уравнению. [c.305] Вернуться к основной статье