ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Модель процесса совместного пластического сжатия разных металлов (процесс СПДРМ) из "Теория пластичности " О вариационных принципах. Вариационными принципами классической механики называют общие закономерности механического движения, позволяющие из совокупности кинематически возможных движений механической системы, т. е. движений, допускаемых наложенными на систему связями, выделить действительное движение, которое она будет совершать в заданном силовом поле. При этом дифференциальные вариационные принципы дают критерий истинного движения, отнесенный к некоторому моменту времени (например, принцип возможных перемещений), а интегральные — к конечному интервалу времени (например, принцип Гамильтона—Остроградского). [c.308] Известны три вариационные принципа теории упругости. Принцип минимума потенциальной энергии (принцип возможных перемещений) потенциальная энергия упругого тела, рассматриваемая как функционал произвольной системы перемещений, удовлетворяющей кинематическим граничным условиям, принимает минимальное значение для системы перемещений, фактически реализуемой в упругом теле. Принцип минимума дополнительной работы Кастильяно (понятие о дополнительной работе дано в конце этого параграфа) дополнительная работа упругого тела, рассматриваемая как функционал произвольной системы напряжений, удовлетворяющей уравнениям равновесия внутри тела и на его поверхности, принимает минимальное значение для системы напряжений, фактически реализуемой в упругом теле. Наконец, в вариационном принципе Рейсснера варьируются независимо друг от друга и перемещения, и тензор напряжений. [c.308] Аналогичные вариационные принципы имеются и в теории пластичности. Они выражаются различными вариационными уравнениями в теории пластического течения и в деформационной теории пластичности для упруго-пластической среды и для среды не имеющей упругих свойств для сжимаемой и несжимаемой среды для среды без упрочнения и для среды, имеющей деформационное или скоростное упрочнение. [c.308] Вариационные принципы и методы расчета применительно к обработке металлов давлением получили наибольшее развитие в трудах И, Я. Тарновского, В. Л. Колмогорова, Г. Я- Гуна, А. А. Поздеева, Р. Хилла и др. [c.309] Следуя В. Л. Колмогорову, вначале рассмотрим общий случай принципа возможных изменений напряженного и деформированного состояний, а затем, как частные случаи, два других принципа — возможных изменений деформированного состояния и возможных изменений напряженного состояния. [c.309] Уравнение (XIV.36) записано в сопутствующей (лагранжевой) системе координат. Поэтому оно справедливо в любой криволинейной неортогональной системе координат. Если рассматривается мгновенное состояние деформируемого тела, то можно выбрать и прямоугольную декартову систему координат. В этом случае все индексы можно записать внизу, а интегралы по времени опустить. Сказанное справедливо и для всех последующих уравнений этого параграфа. [c.310] Поскольку действительные поля напряжений аЧ = -f- ag4 и скоростей г , являются и виртуальными, они также удовлетворяют уравнению (XIV.36). [c.310] В заключение напомним, что виртуальные поля напряжений и скоростей v l удовлетворякут уравнениям движения (V.18), уравнению неразрывности (V.10) и формулам (III.7), а также всем начальным и граничным условиям за исключением условий трения на контактной поверхности скольжения Таким образом, в общем случае поля a t и vi (или f/) не связаны между собой, так как они не удовлетворяют уравнениям состояния. [c.310] Дополнительные ограничения на виртуальное состояние. Принцип виртуальных скоростей и напряжений (XIV.36) не является конструктивным для решения краевой задачи теории пластичности, сформулированной в гл. XI. Необходимо сконструировать вариационное уравнение, решение которого эквивалентно краевой задаче. С этой целью введем ряд дополнительных ограничений на виртуальное состояние. [c.310] Вариации будем считать бесконечно малыми, т, е. [c.310] Будем считать, что на поверхности 2р раздела V h V p материал затвердел , т. е. напряжения находятся внутри объема, ограниченного в девятимерном пространстве напряжений поверхностью нагружения. Кроме того, на поверхности 2J, виртуальные скорости V и поверхностные напряжения р непрерывны. [c.311] Условие трения на контактной поверхности в зоне скольжения. Согласно (XI. 16) напряжение трения р является заданной функцией нормального поверхностного напряжения и скорости скольжения инструмента по деформируемому металлу Оз, т. е. [c.312] Вариационное уравнение принципа виртуальных скоростей и напряжений. Оно выводится на основании (XIV.36) с учетом рассмотренных выше дополнительных ограничений на виртуальное состояние, уравнений состояния (XIV.38), (XIV.40) и условий трения (XIV.41), (XIV.42). [c.312] Интеграл по поверхности тела S в (XIV.36) представим в виде суммы трех интегралов по Поверхностям Зд, и 2 . Преобразуем подынтегральное выражение p v i этих интегралов. [c.312] При выводе уравнения (XIV.50) использованы дифференциальные уравнения движения, уравнение неразрывности, связи между скоростями деформаций и скоростями перемещений, начальные условия, кинематические и динамические граничные условия, включая условия трения, а также уравнения состояния. Методами вариационного исчисления можно показать, что из уравнения (XIV.50) следует краевая задача теории пластичности. Действительно, осуществим варьирование в уравнении (XIV.50), учитывая все ограничения, накладываемые на вариации, и приведем его к независимым вариациям. После этого на основании основной леммы вариационного исчисления можно получить все уравнения и условия, перечисленные выше. Таким образом, решение краевой задачи в дифференциальной форме эквивалентно исследованию на стационарное состояние функционала I, заклю ченногов фигурные скобки в (XIV.50). [c.315] Из этой формулы видно, что на действительном напряженно-деформированном состоянии s = = Е, а = о, р[ = р, = = = Д = A t = = Ар — О) функционал I вариационного уравнения принципа виртуальных скоростей и напряжений равен нулю. [c.317] Совершенно аналогично можно показать, что величины, заключенные во вторые и третьи квадратные скобки в (XIV.54), также положительны на любом виртуальном состоянии. Нужно только иметь в виду, что если Рх — возрастающая функция Oj, а — возрастающая функция р (рис. 137), то и — возрастающая функция а Ojj — возрастающая функция р . [c.317] Поскольку в (XIV.54) интегрируются существенно положительные величины, функционал I на любом виртуальном состоянии положителен, а на действительном напряженно-деформированном состоянии функционал / имеет равный нулю абсолютный минимум. [c.317] Этот функционал называется полной мощностью (см. левую часть неравенства (XIV. 10) ]. Соответствующее вариационное уравнение по-прежнему имеет вид б/ = О, но функционал I для действительного состояния нулю не равен, но имеет при этом минимальное значение. [c.320] действительное поле скоростей отличается от всех кинематически возможных тем, что сообщает полной мощности минимальное значение. Это утверждение называют еще принципом Журдена. [c.320] Вернуться к основной статье