ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Дифференцирование поля и его применение для описания движения при обработке металлов давлением из "Теория пластичности " Тензорная поверхность. Для описания напряженно-деформированного состояния тела при его обработке давлением применяются симметричные тензоры второго ранга. В связи с этим рассмотрим симметричный тензор второго ранга более подробно. Его математическое выражение представлено формулой (1.63), причем Т 1 = = Г/ и Ttj = Tjt. [c.42] Она является инвариантом относительно преобразований координат, так как приращения координат dx преобразуются по формулам (1.10), (1.12) с помощью матриц обратного преобразования, а компоненты тензора Тц преобразуются по формулам (1.65) с помощью матриц прямого преобразования. Обозначим этот инвариант через С, т. е. [c.42] Из аналитической геометрии известно, что это уравнение центральной поверхности второго порядка. Поверхность (1.74) и называется тензорной поверхностью. Например, это может быть эллипсоид, одно- либо двухполостный гиперболоид. [c.42] Все три корня этого уравнения вещественны. [c.44] при изменении системы координат компоненты тензора меняются согласно (1.65). Но величины /,, /3, /3, вычисленные через компоненты тензора в новой системе координат, будут иметь прежние значения. Обратим внимание на то, что инварианты рассчитывают через смешанные компоненты тензора, что еще раз подверждает целесообразность введения взаимного базиса. [c.45] Найти главные компоненты и главные оси тензора. [c.46] Поскольку главными осями шарового тензора Р являются три любые взаимно ортогональные оси, главные оси tj , т] , т] тензора Т являются и главными осями девиатора D. [c.47] Физические компоненты векторов и тензоров. Физические компоненты вектора А, А2, равны длинам ребер косоугольного параллелепипеда (рис. 7) А1 = MB, А2 = МС, A3 MD. [c.49] Скалярные, векторные и тензорные поля. Если каждой точке М части пространства (области V), занятой сплошной средой (деформируемым телом), в каждый момент времени i to (где — начальный, ti — конечный моменты времени) однозначно сопоставлена некоторая величина ф (например, температура, скорость, напряженное состояние), то говорят, что задано поле этой величины ф = ф (М, t). Если ф —скаляр, вектор или тензор, поле называется соответственно скалярным, векторным или тензорным. [c.50] Если в рассматриваемый момент времени величина ф одинакова во всех точках области F, то поле величины ф является однородным, Для однородного в интервале времени tj) поля величина ф зависит от времени, но не зависит от точки области V, т. е. Ф = Ф (i). В общ,ем же случае поле является неоднородным, т. е. величина ф является функцией не только времени, ыо и точки обдаоФи V. [c.50] Поле называется стационарным, если величина ф не зависит в любой точке М от времени. Для стационарного поля ф = Ф М). [c.51] Если М —точка сплошной среды (деформируемого тела), заданная лагранжевыми координатами то ф = ф V, V, t). Лагранжевы координаты и время i называются переменными Лагранжа. Если величина ф является функцией переменных Лагранжа, говорят, что поле этой величины задано по Лагранжу. Точка зрения Лагранжа на изучение движения сплошной среды состоит в том, что наблюдатель следит с течением времени за величиной ф (скоростью, ускорением, температурой, плотностью и др.) в индивидуальных точках среды, фиксированных лагранжевыми (сопутствующими) координатами. [c.51] Если М — точка простюанства наблюдателя, заданная эйлеровыми координатами x , х , х , то ф = ф (х , х, х , t). Эйлеровы координаты и время t называются переменными Эйлера. Если величина ф является функцией переменных Эйлера, говорят, что поле этой величины задано по Эйлеру. Точка зрения Эйлера на изучение движения сплошной среды состоит в том, что наблюдатель следит с течением времени за величиной ф в точках пространства, фиксированных эйлеровыми координатами. В рассматриваемую точку пространства в разные моменты времени приходят разные точки сплошной среды с различной скоростью, ускорением, температурой и др. [c.51] Закон движения сплошной среды. Если сплошная среда движется, эйлеровы координаты х , х , дс ее точек М ( , Е ) меняются с течением времени, т. е. [c.51] Эти частные производные по времени берутся при фиксированных лагранжевых координатах, так как х = х i , ). [c.52] О но о == v ei, где j — векторы базиса системы отсчета. Этот способ описания движения использован, например, при решении задачи (III. 1). [c.52] Установившееся и неустановившвеся движение. Если поле скоростей, заданное по Эйлеру v = х -, х , j , t), не меняется с течением времени, т. е. является стационарным = w (х, ж, лс ), движение называется установившимся. В общем же случае движение является неустановившимся. Установившееся движение легче изучать с точки зрения Эйлера, так как при этом число независимых переменных уменьшается на единицу (время t выпадает). Например, установившимся является движение металла в очаге деформации при прокатке (рис. 4) с постоянной скоростью вращения валков, когда длины переднего и заднего концов полосы намного больше длины очага деформации. При прокатке переднего и заднего концов полосы движение металла является неустановившимся. [c.53] Понятие установившегося движения является относительным. Например, движение волн за кораблем является установившимся с точки зрения наблюдателя на корабле и неустановившимся с точки зрения наблюдателя на берегу. [c.53] Вернуться к основной статье