ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Некоторые общие решения и теоремы теории уравнений Стокса из "Гидродинамика при малых числах Рейнольдса " Далее будут рассматриваться в основном установившиеся течения несжимаемых жидкостей, удовлетворяющие уравнениям движения и неразрывности для медленных течений (2.6.1) и (2.6.2). Как уже отмечалось, исследование некоторых одномерных течений (например, течений в канале с плоскими параллельными стенками) может быть сведено к решению уравнения Лапласа (2.5.12), причем имеются решения для ряда течений такого типа. [c.76] Необходимо также отметить применение уравнений медленного течения в гидродинамической теории смазки. Исследование относительного движения двух близко расположенных параллельных поверхностей было начато Рейнольдсом [25]. Развитые им методы применялись с тех пор в разнообразных задачах теории смазки [14]. В дополнение к пренебрежению инерцией принимается, что течение жидкости существенно одномерно. Такие же упрощения применялись также, например, к исследованию аксиального движения сферы в круглой трубе, заполненной вязкой жидкостью, в случае, когда диаметр трубы ненамного больше диаметра сферы [8], и для вязкого течения в зазоре между параллельными круговыми цилиндрами в случае, когда зазор между ними мал по сравнению с их диаметром [17]. В первом случае наблюдается хорошее согласие эксперимента с теорией. Имеется также много других аналогичных применений данной теории. [c.76] Двумерные стоксовы течения несжимаемой жидкости можно поэтому представить при помощи подходящей аналитической функции W (z) комплексного переменного z х iy с действительной частью p/2[i и мнимой частью, равной —о). [c.77] Течение при малых, но не равных нулю числах Рейнольдса можно рассматривать при помощи соответствующих методов возмущений. Так, Дин [9] рассмотрел двумерное сдвиговое течение вязкой несжимаемой жидкости, обтекающей выступ на плоской стенке, причем в качестве течения, не возмущенного выступом, рассматривалось течение с однородным сдвигом. [c.77] Бигармоническое уравнение (3.1.8) решалось с тем, чтобы найти функцию тока в нулевом приближении по числу Рейнольдса. Поправка первого порядка была получена при помощи подходящей итерационной процедуры, в основе которой лежала оценка инерционных членов при помощи поля нулевого приближения. [c.77] Трехмерные решения уравнений Стокса имеют важнейшее значение для задач, относящихся к средам со многими частицами. [c.77] Так как в этих задачах обычно имеется много границ, то для их решения желательно иметь в распоряжении набор достаточна общих решений, который позволял бы одновременно удовлетворить ряду граничных условий. Методом, наиболее широко используемым для получения таких решений, является классический метод разделения переменных. Разделяемость переменных в уравнениях Стокса полностью не исследована, но трехмерные задачи в сферических и цилиндрических координатах могут эффективна решаться таким способом. В этом случае получаются полезные решения, представляемые в виде удобных рядов. [c.78] Осесимметричные течения или обтекание тела враш,ения параллельно его оси враш ения, представляют пример трехмерных течений, которые могут быть охарактеризованы при помош и единственной скалярной функции тока, как это имеет места и в случае двумерных течений. Разделение переменных в этом случае возможно для более широкого класса систем ортогональных координат, что обсуждается в гл. 4. В другом обш,ем методе получения решений линеаризованных уравнений движения используются обобш енные функции Грина. Так как получаемые решения содержат интегралы, они во многих случаях не так удобны, как решения в виде рядов. В других более специальных методах используются зеркальные отражения и аппарат вариационного исчисления. В последующих разделах этой главы некоторые из этих методов рассматриваются подробно, причем особое внимание уделяется тем из них, которые наиболее широко используются для целей этой книги. [c.78] Как хорошо известно [22], для полной постановки гидродинамической задачи необходимы не только решения дифференциальных уравнений, но также и граничные условия. В большинстве случаев форма границы должна быть задана. Граница называется замкнутой, если она целиком окружает жидкость. Замкнутая граница может уходить на бесконечность, но в этом случае граничные условия должны быть определены и на бесконечности. Так, граница является замкнутой для сферы, оседающей аксиально в бесконечно длинном цилиндре, заполненном жидкостью, если скорости заданы как на сфере и стенке цилиндра, так и при вдоль оси цилиндра. [c.78] Граница называется открытой, если она уходит на бесконечность и граничные условия для жидкости на бесконечности отсутствуют. Уравнения Стокса относятся к классу уравнений в частных производных, известных как эллиптические уравнения. Для этих уравнений предпочтительно ставить краевые задачи с замкнутыми границами. В обычно используемых граничных условиях задаются либо сам вектор поля на границе, либо же величины первых производных его компонент в тангенциальном направлении к границе. [c.78] Вернуться к основной статье