ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Упрощения уравнений Навье — Стокса, в частности для медленного течения из "Гидродинамика при малых числах Рейнольдса " В установившиеся течения неограниченной среды, или о сопротивлении при течении жидкости по каналам. Так как пренебрежение вязкими членами понижает порядок уравнений движения с четвертого до третьего, то их решение не может удовлетворить условию прилипания на твердой границе. По этой причине установившиеся течения такого типа лишены физического смысла, по крайней мере в непосредственной близости от твердых границ, даже для очень больших чисел Рейнольдса. [c.58] Однако в предельном случае больших чисел Рейнольдса можно разделить поле течения вокруг тела на внешнюю область, где течение обычно безвихревое и тонкий слой вблизи тела вместе со следом за ним, где вязкими эффектами пренебрегать нельзя. Можно полагать, что во внешней области течение приближенно описывается уравнениями идеальной жидкости, а во внутренней области вязкие и инерционные эффекты равнозначны, и поэтому необходимо использовать полные уравнения Навье — Стокса. Эта последняя область состоит из пограничного слоя непосредственно примыкающего к телу, и следа за ним. [c.58] Понятие о пограничном слое введено в гидромеханику Прандт-л ем Б начале нашего века и успешно используется в задачах гидравлики и аэродинамики [54]. [c.58] Короче говоря, теория пограничного слоя включает в себя упрощенные уравнения Навье — Стокса, основанные на малости некоторых членов вблизи твердой поверхности, и надлежащего сращивания течения вблизи поверхности с внешним потоком. Эта теория применялась к задачам как турбулентного, так и ламинарного течения, и получено большое разнообразие решений 145, 38]. К сожалению, поток за обтекаемыми телами после точки отрыва не может рассматриваться в рамках теории пограничного слоя. Таким образом, не существует теоретической оценки сопротивления для обтекаемых тел при числах Рейнольдса, при которых оказывается возможным отрыв потока. [c.58] При числах Рейнольдса TVr = a /p/ji вплоть до 0,05 сопротивление по закону Стокса только на 2% меньше, чем ожидаемое более точное значение, полученное Праудменом и Пирсоном [49 на основе строгих разложений уравнений Навье — Стокса по малому числу Рейнольдса, в которых принимаются во внимание инерционные члены. Этот результат выражается уравнением (2.6.6). [c.59] Кроме того, уравнение (2.6.1) представляет собой хорошую аппроксимацию уравнений Навье — Стокса для некоторых классов неустановившихся течений. Возможность такого приближения подробно будет обсуждаться в разд. 2.10. [c.60] Явления, в основе которых лежит инерция жидкости, конечно, не описываются уравнениями Стокса. Например, две од ина-ковые сферы, падаюш,ие вдоль линии центров, испытывают одинаковое сопротивление и движутся с одинаковой скоростью. Следовательно, при их падении расстояние между ними должно оставаться фиксированным [60]. Однако можно показать, что при любом ненулевом числе Рейнольдса верхняя сфера испытывает меньшее сопротивление, чем нижняя, и, следовательно, верхняя сфера в конце концов догонит нижнюю [24]. Другой пример соответствует нейтрально плавающей сфере, центр которой смещен относительно оси вертикального кругового цилиндра, в котором вязкая жидкость течет по закону Пуазейля. В соответствии с уравнениями Стокса [7] сфера будет находиться все время в постоянном положении относительно оси. Если, однако, принять во внимание инерционные члены, то боковая сила будет стремиться передвинуть сферу поперек линий тока [53]. Чем меньше число Рейнольдса, тем меньше при прочих равных условиях инерционные эффекты. Но так как течения, для которых число Рейнольдса тождественно равно нулю, не могут существовать, инерционные эффекты должны проявляться в некоторой степени во всех реальных системах. [c.60] Поле Vi представляет улучшенное стоксово решение, в котором учтено влияние членов первого порядка по числу Рейнольдса. [c.61] Схема Уайтхеда обладает тем очевидным преимуществом, что теперь нужно решать только линейное неоднородное уравнение вместо нелинейного уравнения. Более того, эту схему возмущений можно в принципе продолжить далее, используя pvi-Vvj в качестве следующей аппроксимации инерционных членов. Это дает также идею итерационной схемы для получения более высоких приближений. К сожалению, как это обнаружил сам Уайтхед, не существует решения приведенных выше уравнений для v , удовлетворяющих условию однородного течения на бесконечности. Более того, можно показать, что следующее приближение, скажем V2, становится бесконечным вдали от сферы. Невозможность продолжить решение Стокса при помощи только что намеченной итерационной схемы известна как парадокс Уайтхеда. [c.61] Они известны как уравнения Озеена. [c.62] Много споров вызывает интерпретация связи между дифференциальными уравнениями Озеена и уравнениями Навье — Стокса. Хотя озееновский член U-Vv, по-видимому, удовлетворительна аппроксимирует истинный инерционный член v Vv на больших расстояниях от сферы, такая аппроксимация должна ухудшаться вблизи тела, где граничное условие v = О требует, чтобы истинный инерционный член был мал. В частности, из озееновского анализа совершенно не ясно, является ли инерционная поправка ЗЛ ке/8 к сопротивлению для сферы действительно правильной кроме того, метод Озеена не дает возможности построить систематическую процедуру возмущений для получения приближений более высокого порядка к решению уравнений Навье — Стокса. [c.62] С другой стороны, озееновский анализ придает прочную теоретическую основу закону Стокса, а также указывает на то, что связь между уравнениями Стокса и Навье — Стокса при малых числах Рейнольдса не столь очевидна, как это могло бы показаться из элементарных соображений теории размерности. Подход Озеена дает возможность разрешить парадокс Стокса (разд. 2.7), согласно которому не существует решения уравнений Стокса для задачи двумерного поперечного обтекания цилиндра потоком неограниченной жидкости. [c.63] Из-за сложности аргументов, лежащих в основе метода, все еще оказывается невозможным точно установить область применимости этой асимптотической формулы. Совпадение с формулой Озее-на (2.6.5) до членов порядка О (iVRe) случайно. Причина этого состоит, как было показано, в том, что теория Озеена сама по себе недостаточна для вывода формулы сопротивления с точностью до членов выше нулевого порядка по числу Рейнольдса, т. е. для уточнения закона Стокса. [c.64] Вернуться к основной статье