ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Уравнения газовой динамики из "Термодинамика, статическая физика и кинетика Изд.2 " Первое из этих уравнений представляет собой хорошо известное уравнение непрерывности, выражающее закон сохранения вещества (массы). [c.523] В левой части этого выражения стоит изменение импульса в объеме V за единицу времени, происходящее как вследствие изменения импульса в фиксированной точке (первое слагаемое), так и вследствие движения частиц газа (второе слагаемое — поток импульса через границу объема V). [c.524] Обратим теперь внимание читателя на фундаментальный недостаток системы макроскопических уравнений (94.14) — (94.16), заключающийся в том, что эта система незамкнута — число уравнений этой системы меньше числа неизвестных. Действительно, уже первое уравнение этой системы содержит четыре неизвестных — плотность р и три проекции скорости щ. Добавление второго векторного уравнения (94.15) только ухудшает ситуацию, так как число уравнений возрастает до четырех, а к числу неизвестных добавляются шесть независимых компонент тензора П/а и равновесное давление Р, и мы получаем четыре уравнения с одиннадцатью неизвестными. Очевидно, что добавление к системе скалярного уравнения (94.16) ведет к тем же последствиям, так как к числу неизвестных добавляются три проекции вектора теплопроводности /. Мы могли бы составить уравнения типа (94.14) — (94.16) и для более высоких моментов скорости, выбрав в качестве функции хр г,ь,1) в (94.6) или (94.20) произведение трех. [c.525] Уравнение (94.24) — уравнение диффузии — содержит уже только одну неизвестную функцию р(г, I). Таким образом, уравнение (94.14) может быть сделано замкнутым, если постулировать закон Фика и ввести феноменологический коэффициент диффузии. Ниже мы покажем, что и система уравнений (94.15) и (94.16) может быть сделана замкнутой, если постулировать феноменологические законы для вязкости и теплопроводности и ввести соответствующие коэффициенты. Важно, однако, подчеркнуть, что такой метод замыкания системы макроскопических уравнений представляет собой лишь кажущееся решение задачи. По существу, пользуясь этим приемом, мы лишь переносим трудность в другое место, так как возникает проблема доказательства уравнений переноса и нахождения коэффициентов переноса. [c.526] Уравнения (94.29) и (94.30) называются уравнениями Навье - Стокса. [c.528] Таким образом, мы пришли к важнейшему выводу в термодинамически равновесном состоянии все газы являются невязкими. Считать газ сжимаемым или несжимаемым мы можем в зависимости от того, можно ли полагать в данной конкретной задаче величину 6и//6х/ равной нулю или нет. Наоборот, в неравновесном состоянии все газы являются вязкими, причем отличие от нуля тензора Пд приводит к двум следствиям к появлению добавочного неравновесного давления и к появлению сил вязкого трения, определяемых бесследной частью тензора П д. [c.528] В левой части этого уравнения стоит полное изменение энергии, заключенной в объеме V, за единицу времени. Эта энергия состоит из двух частей — кинетическая энергия ри И и внутренняя энергия рС. Первое слагаемое в правой части представляет собой работу внешних объемных сил, а второе — работу поверхностных сил, включающую работу сил давления (равновесного Р и неравновесного П = зр П д) и работу сил вязкого трения последнее слагаемое по своей математической структуре есть поток вектора 1к через граничную поверхность. Оно обуславливает изменение энергии в объеме V даже в отсутствие внешних сил и сил вязкого трения. Таким образом, можно интерпретировать это слагаемое как поток тепла, втекающий или вытекающий через границу объема V за единицу времени вследствие теплопроводности, а сам вектор 1к — как вектор плотности потока тепла. [c.528] Для ТОГО чтобы сделать замкнутым уравнение (94.16), следует постулировать феноменологическое выражение для вектора Такое замыкающее выражение может быть сформулировано на основе следующих соображений. [c.529] Обратим внимание на то, что второе слагаемое в левой части содержит поток энтальпии в единице объема. [c.529] Первое слагаемое в этом выражении неотрицательно, если а О, а второе — если г) 2а. Ъ. Таким образом, условие неотрицательности выражения П д (6и /6х ) накладывает известные ограничения на а и Получим, наконец, чисто термодинамическим путем уравнение, описывающее изменение энтропии. Введем для этого гипотезу локального равновесия. Мы будем считать, что хотя состояние системы в целом неравновесно, ее можно подразделить на столь малые объемы, каждый из которых тем не менее макроскопичен, что в каждом таком объеме состояние равновесно и только значения параметров, описывающих состояние (температура, плотность, давление, энтропия и т. д.), медленно меняются во времени и от точки к точке. [c.531] Полученные нами в этом параграфе уравнения газовой динамики содержат максимальную информацию о макроскопическом движении газа, которую можно извлечь из кинетического уравнения Больцмана, не решая его. При этом в уравнениях появляются три феноменологических коэффициента вязкости аит и коэффициент теплопроводности X, зависимость которых от температуры и давления остается неизвестной. [c.533] Считая отклонения состояния движущегося газа от равновесного малыми, можно найти приближенные решения уравнения Больцмана и получить обоснование феноменологических уравнений переноса (94.27), (94.28), (94.32), а также вычислить коэффициенты переноса. [c.533] Вернуться к основной статье