ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Флуктуации и фазовые переходы. Теория Орнштейна- Цернике Гипотеза подобия из "Термодинамика, статическая физика и кинетика Изд.2 " Мы рассмотрели в 77—79 некоторые приближенные теории, позволяющие построить термодинамику в окрестности точек фазового перехода теорию Ван-дер-Ваальса, приближение Брэгга - Вильямса, теорию Л. Ландау — их принято называть классическими. [c.433] Эти противоречия свидетельствуют о несостоятельности классических теорий как раз в области, для рассмотрения которой они и были предназначены. В этом, однако, нет ничего удивительного, так как предпосылки, лежащие в основе классических теорий, являются довольно грубыми идеализациями действительности. [c.434] В отношении теории Ландау мы обсуждали вероятные причины ее недостаточности в конце предыдущего параграфа. Что касается приближения Брэгга - Вильямса, то его основное предположение — отсутствие ближних корреляций — несомненно еще более грубо. Недостаточность этой теории дополнительно подтверждается еще тем фактом, что в теории Брэгга - Вильямса фазовый переход возникает в любой решетке независимо от ее пространственной размерности и лишь значение температуры перехода Гк зависит от координационного числа п. Более точные методы показывают, как мы увидим ниже, что в одномерной магнитной цепочке фазовые переходы ни при какой конечной температуре вообще не происходят. [c.434] Описанная модель называется моделью Изинга и может быть, естественно, сформулирована и для двумерного и трехмерного случаев. [c.435] Так как подкоренное выражение в (80.10) положительно при любых вещественных г и 0, то статистическая сумма 2, а следовательно, и все термодинамические функции непрерывны при любых значениях температуры Т и напряженности магнитного поля Н. Поэтому фазовые переходы в одномерной модели Изинга невозможны. [c.436] Теплоемкость стремится к нулю и при Г О, и при Г оо и достигает максимума при температуре То = е — е /20о, где во — корень уравнения 00 =с1Ь0о- Отметим, что эти результаты справедливы независимо от знака е — е. [c.437] Рассмотрим предельные случаи высоких 0 1, г 1 и низких 0 1 температур. [c.437] Мы получили естественный результат наиболее вероятное распределение магнитных моментов в цепочке является при Г - 0 полностью упорядоченным по направлению поля, и намагничение равно своему максимальному значению Мо. [c.437] Пусть 101 г, е е — цвН. Это значит, что магнитное поле является настолько слабым (Н Нк = (е — е )I в), что антипараллельная ориентация соседних магнитных моментов, энергетически более выгодная в отсутствие поля (е е), остается таковой и при наличии поля. В этом случае при Т О имеем е4( 0 -т) оо и из формулы (80.16) получаем М 0. Наиболее вероятное расположение магнитных диполей является полностью неупорядоченным. [c.438] Пусть теперь в г, е- вН е е. Это значит, что магнитное поле является настолько сильным (Н Нк = (е — е )// д), что антипараллельная ориентация соседних магнитных моментов, энергетически более выгодная в отсутствие поля, становится энергетически менее выгодной в присутствии поля. В этом случае при Г 0 имеем 4( Д -т) 0 и по формуле (80.16) получаем М Мо- Наиболее вероятное расположение магнитных моментов является полностью упорядоченным по направлению поля. [c.438] Таким образом, хотя в одномерной модели Изинга фазовые переходы не происходят, в случае цепочки с в 0 существует критическое значение напряженности магнитного поля Як =( —е )1 1в, вблизи которого осуществляется переход от состояния с чередующимися диполями первого и второго вида (при Н Як) к полностью упорядоченному состоянию (при Я Як), причем при Г О этот переход становится скачкообразным. [c.438] Вводя обозначение р(Т) = — Л4Т, получим выражение для статистической суммы 2, полностью эквивалентное (80.10), которое мы имели в случае магнитной цепочки, если переобозначить е = — Л1, г = 0, РъН = Л2 ср. (80.2) и (80.19)). [c.439] Все результаты, относяшиеся к распределению атомов А и В в бинарной цепочке и к распределению атомов решеточного газа, могут быть получены из соответствующих формул для магнитной цепочки Изинга путем простых преобразований (см. задачу к этому параграфу). [c.439] Мы проведем теперь простое качественное рассуждение, показывающее, что в решетке с числом пространственных измерений, равным двум или большим, существует температура, ниже которой термодинамически выгодно упорядочивание спинов ( ), а в одномерной цепочке эта температура равна нулю. [c.440] Рассмотрим сначала одномерную цепочку спинов (з = 1/2) в отсутствие магнитного поля и сравним два ее состояния первое, в котором все спины имеют одинаковое направление, и второе, когда все спины, начиная с некоторого, изменили направление на противоположное (рис. 106, а). Энергия второй конфигурации по сравнению с первой больше на А1/ = е — е (возникла одна пара соседних противоположно направленных моментов). Энтропия второй конфигурации с учетом того, что границу между противоположно направленными спинами можно выбрать N способами согласно формуле Больцмана, больше, чем у первой, на 1п N. Отсюда для изменения свободной энергии получим АГ = е — е — Т п М, так что при любых Т Ои макроскопических значениях N величина АР отрицательна, и термодинамически выгодно разупорядочивание спинов. [c.440] Рассмотрим теперь двумерную решетку и сравним опять две конфигурации — одну с полностью упорядоченными моментами и другую, в которой в макроскопической подобласти, выделенной на рис. 106, б штриховой линией, направление моментов изменилось на противоположное. Обозначим N число звеньев границы между двумя областями. Изменение энергии при переходе от первой конфигурации ко второй равно М(е — е). Число способов, которым можно провести границу из N звеньев, приближенно можно оценить 3 , так как пока мы находимся достаточно далеко от исходной точки границы, для следующего звена существует три возможных направления, см. рис. 106, б. Следовательно, для изменения свободной энергии получаем АР = = М[е — — Г 1п 3]. Из этого выражения видно, что при Т Тк = = ( — )/1пЗ величина АР положительна и термодинамически выгодно упорядочение магнитных моментов. Ясно, что качественно это рассуждение пригодно и для трехмерной решетки, и это объясняет причину существования фазовых переходов в ферромагнетиках. [c.440] Трехмерная задача Изинга до сих пор не поддается точному аналитическому расчету. Приближенные оценки дают следующие значения критических показателей аиа 1/8, Д — 5/16, у иу 5/4и д 5, подстановка которых в неравенства Рашбрука Куперсмита и Гриффитса превращает их в равенства. [c.441] Нули лежат иа окружности с радиусом и не попадают на положительную полуось даже в термодинамическом пределе. [c.442] Таким образом, вдали от критической точки флуктуации плотности убывают по показательному закону. По мере приближения к критической точке а о, и корреляционный радиус неограниченно растет. При этом флуктуации плотности убывают значительно медленнее ( г ). Изложенная здесь теория была в несколько иной форме предложена Орнштейном и Цернике и носит их имена. [c.444] Вернуться к основной статье