ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Вывод распределений Бозе - Эйнштейна и Ферми - Дирака с помощью большого канонического ансамбля из "Термодинамика, статическая физика и кинетика Изд.2 " Вывести каноническое распределение, считая, что термостатом являются а) газ невзаимодействующих классических гармонических осцилляторов б) газ невзаимодействующих ультрарелятивистских частиц е = ср. [c.309] Заметим теперь, что множитель N V 2лтТ) равен на основании формул (40.5), (40.3) g= , а = к ) экспоненте, где — химический потенциал идеального газа (термостата). Но в условиях обмена частицами (равновесия) между системой и термостатом (см. [c.311] 62 мы вывели статистические распределения для Т-У-Ы-, Т-У-р- и Г-Р-7/-систем, предполагая, что термостат представляет собой идеальный газ. В случае, когда система обменивается с термостатом помимо энергии также и частицами (Г- К-/г-система), это предположение существенно сужает область применимости полученных результатов, так как природа частиц системы ограничивается — они должны быть теми же, что и в термостате. Мы рассмотрим поэтому другой, более абстрактный, но и болеё общий вывод статистического распределения для системы взаимодействующих частиц, считая, что в этой системе может флуктуировать и энергия, и число частиц, и объем. Т-У-М-, Т-У-р- и Г-Р-7/-распределения будут получены затем как частные случаи. [c.312] Рассуждение, которое мы приведем, в математическом отношении весьма напоминает вывод распределения Максвелла - Больцмана методом ящиков и ячеек, но принципиальные его основы радикально отличны. [c.312] Мы будем рассматривать квантовомеханические системы с квантованными значениями энергии. Будем, кроме того, для упрощения обозначений считать, что объем системы У, так же как и число частиц М, и энергия Е, принимает квантованные дискретные значения — переход от суммирования по объему к интегрированию мы проведем в конце вывода. [c.312] Обозначим через п [М, V, Е 1 М, V)] число экземпляров ансамбля, для которых число частиц, объем и энергия принимают заданные значения М, У,Е(1 М, V). Принципиальная логическая основа вывода, который мы излагаем ниже, заключается в следующем. Заменим мысленно взаимодействие системы с термостатом, приводящее к изменениям энергии, числа частиц и объема системы, взаимодействием экземпляров ансамбля с большим термостатом и будем считать газ экземпляров погруженным в большой термостат . При этом состояния с фиксированными М, V к Е 1 М, V) будут играть такую же роль, как ячейки в методе Больцмана, а числа экземпляров п [М, V, Е 11 Л , V)] — роль чисел молекул в ячейках. Очевидно, что понятие ящика в этой задаче отсутствует — имеется лишь один ящик, включающий все возможные состояния газа экземпляров. [c.313] Мы считаем экземпляры ансамбля различимыми, ибо речь идет не о микрочастицах, подчиненных квантовомеханическому принципу неразличимости, а о макроскопических экземплярах с разными энергиями, числами частиц, объемами. [c.313] Рассмотрим теперь, в качестве частных случаев, системы T-V-N, T-V-H и T-P-N. [c.316] Формулы (63.13) и (63.20) выражают каноничеекое распределение Гиббса. Мы указали явно аргументы свободной энергии Е(Т, У, М), чтобы подчеркнуть, что собственные аргументы свободной энергии — это как раз те параметры, которые являются фиксированными для канонического ансамбля Гиббса. [c.317] Эта формула выражает большое каноническое распределение Гиббса. Вновь подчеркнем, что собственные аргументы Q-потенциала Г, V, л являются как раз теми параметрами, которые фиксированы для большого канонического ансамбля Гиббса. [c.319] Естественные аргументы термодинамического потенциала Г, Р, N представляют собой как раз те параметры, которые фиксированы в Г-Р-Л -ансамбле. [c.321] Несмотря на то, что мы не будем пользоваться распределением (63 А1), мы считаем полезным обратить внимание читателя на следующее кажущееся противоречие. [c.321] В заключение резюмируем результаты, полученные в двух последних параграфах. [c.322] Вернуться к основной статье