ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ Болотин, Н.И.ЖинОбщая теория из "Машиностроение Энциклопедия Т I-3 Кн 1 " При анализе устойчивости деформируемых систем обычно используют приближенные уравнения теории тонких стержней, пластин и оболочек. [c.461] Это обыкновенное дифференциальное уравнение нужно решать при граничных условиях, вытекающих из 1раничных условий исходного уравнения (7.1.20). Так, если концы стержня х=0 и х=1 шарнирно оперты, то на концах =0. [c.461] В практических расчетах сложных распределенных систем широко применяют вариационные и разностные, а также родственные им методы, например методы конечных или граничных элемеЕТГов. В результате распределенная система аппроксимируется системой с конечным числом степеней свободы. Хотя это число может оказаться весьма большим, к таким системам полностью применима классическая теория устойчивости движения. Численные методы анализа устойчивости применительно к системам высокой размерности освещены в гл. 7.4. [c.461] Линейные модели широко используют при расчетах и проектировании технических объектов. В условиях применимости теоремы об устойчивости по первому приближению анализ устойчивости линейной системы позволяет делать выводы об устойчивости соответствующей нелинейной системы. [c.462] Для линейных дифференциальных систем справедлив принцип суперпозиции. В отличие т нелинейных систем решения линейных систем либо все одновременно устойчивы по Ляпунову, либо неустойчивы. В зависимости от этого линейную систему (7.2.1) называют либо устойчивой, либо вполне неустойчивой. Приведем ряд часто используемых теорем. [c.462] Дпя устойчивости линейной системы диффе-оенциальных уравнений (7.2.1) при любом р( необходимо и достаточно, чтобы было устойчиво тривиальное решение х( М) соответствующей однородной системы (7.2.2). [c.462] Как следствие, отсюда вытекает, что лилейная система устойчива, когда устойчиво хотя Зы одно решение этой системы, и вполне неустойчива, если неустойчиво некоторое ее решение. В теореме p(l) может быть любым, в том числе и нулевым. [c.462] Линейную дифференниальную систему ( равнений (7.2.1) называют асимптотически устойчивой, если все ее решения асимптотически устойчивы. Имеет место соответствующая теоре-ута. [c.462] Из вышеприведенного следует, что с позиций устойчивости достаточно отраничиться изучением лишь однородных систем (7.2.2). Связь устойчивости и ограниченности устанавливается теоремой. [c.462] Устойчивость решения Ид (7) = 7 зависит от знака параметра р. Если р 0, то это решение, очевидно, асимптотически устойчиво. При р=0 оно устойчиво по Ляпунову, а при Р 0 неустойчиво. Во всех трех случаях решения уравнения не ограничены при 7— ос (рис. 7.2.1). [c.462] Линейная однородная дифферендиальная система уравнений (7.2.2) асимптотически устойчива тогда и только тогда, когда все ее решения х(7) удовлетворяют условию Um х(7) = 0. [c.462] Для нелинейной системы дифференциальных уравнений стремление к нулю всех решений не является достаточным условием устойчивости ее нулевого (тривиального) решения. [c.462] Вернуться к основной статье