ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Устойчивость по Ляпунову и родственные поняУстойчивость по первому приближению из "Машиностроение Энциклопедия Т I-3 Кн 1 " Рассмотрим поведение системы, описываемой уравнением (7.1.1), на полубесконечном отрезке времени I = /д,оо). [c.457] Таким образом, асимптотическая устойчивость включает в себя как устойчивость по Ляпунову, т.е. малость отклонений от невозмущенного движения при любых f tQ, так и асимптотическое приближение всех возмущенных движений к невозмущенному при (рис. 7.1.1, б). [c.458] Сделаем следующее замечание относительно начального момента времени 1о- Если невоз-мущенное движение и(/) устойчиво по Ляпунову для какого-нибудь фиксированного / з, то оно будет устойчивым по Ляпунову для любого Поэтому можно ограничиться проверкой устойчивости и асимптотической устойчивости лишь для некоторого заданного момента го. [c.458] До сих пор рассматривалась устойчивость по отношению к начальным возмущениям. Многие практические задачи приводят к анализу устойчивости движения по отношению к дополнительным воздействиям, например, возмущающим силам, появляющимся в процессе движения. Обычно можно считать, что эти воздействия достаточно малы, а для невозмущенного движения равны нулю. В этом случае говорят об устойчивости (неустойчивости) по отношению к постоянно действующим возмущениям. Термин не вполне удачен, поскольку возмущения могут изменяться во времени, в частности, исчезать на некоторых участках фазовых траекторий. [c.458] Доказано, что если положение равновесия хо(0=0 системы (7.1.13) устойчиво в достаточно сильном смысле по отношению к возмущению начальных условий, то оно устойчиво и при постоянно действующих возмущениях [30]. Например, если положение равновесия равномерно асимптотически устойчиво, то это положение равновесия устойчиво относительно малых постоянно действующих возмущений. [c.459] Существенное обобщение классического понятия устойчивости по Ляпунову требуется для задач, в которых нельзя игнорировать случайную природу начальных отклонений и возмущений, действующих во время движения. Эти обобщения будут рассмотрены в п. 7.9.6. [c.459] Механические системы, как правило, обладают нелинейными свойствами. В прикладных расчетах, полагая отклонения от невозмущенного движения (равновесия) достаточно малыми, вкладом нелинейных факторов обычно пренебрегают, что сильно упрощает как аналитические выкладки, так и численные расчеты. Принцип суперпозиции, справедливый для линейных систем, позволяет анализировать раздельно влияние разных факторов и оценивать их результирующий эффект путем сложения частных решений. Этот путь кажется естественным и при анализе устойчивости, тем более что при этом анализе возмущения, как правило, малы по определению. Отбрасывание нелинейных членов (при условии их аналитичности в окрестности невозмущенного движения) представляется интуитивно оправданным. Однако строгай анализ показывает, что это можно делать далеко не всегда. Ответ на вопрос о том, при каких условиях допустимо линеаризировать уравнения возмущенного движения, дает теорема Ляпунова об устойчивости по первому приближению. [c.459] Если Рз О, то правая часть будет положительной и, следовательно, х(0 — при t— o . Решение х(/)Ы) будет неустойчивым по Ляпунову. Если Рг 0, то это решение асимптотически устойчиво. В линейном приближении правые части уравнений не зависят от параметра Р2, а матрица 6 имеет чисто мнимые характеристические показатели А.] 3 = +з Р . Нулевое решение линейной системы устойчиво по Ляпунову. Следовательно, суждение об устойчивости решений нелинейной системы по уравнениям первого приближения не всегда приводит к верным выводам. [c.459] Имеют место следующие утверждения. [c.459] Если все собственные значения постоянной матрицы 6 имеют отрицательные действительные части и если функция Г(Г,х) удовлетворяет условию (7.1.16), то положение равновесия х( )= системы (7.1.15) асимптотически устойчиво. [c.459] Если хотя бы одно собственное значение матрицы О имеет положительную действительную часть, то положение равновесия х(/)=0 нелинейной системы (7.1.15) неустойчиво по Ляпунову. [c.459] Сформулированные выше утверждения относились к случаю, когда линейное приближение приводит к дифференциальным уравнениям с постоянными коэффициентами. Это типично для задач об устойчивости состояний равновесия или стационарного движения. В общем случае матрица 6 уравнений первого приближения зависит от 7. При этом нельзя утверждать, что из асимптотической устойчивости решений уравнений первого приближения следует устойчивость решений нелинейной системы. Ляпунов выделил класс так называемых правильных систем, для которых справедлив аналог теоремы об устойчивости по первому приближению. Среди этих систем - системы с переменными коэффициентами, которые являются ограниченными периодическими функциями времени с одинаковым вещественным периодом. [c.460] Вернуться к основной статье