ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Численные методы решения задач теплопроводности (В.С.Зарубин, А.Г.Цицин) из "Машиностроение Энциклопедия Т I-3 Кн 1 " Если же 39/4 9д 9, то (9-9)/(9-9д) = =ехр[-(1 4Л д9 )х]. [c.201] Это приводит к погрешности при численном решении по сравнению с точным решением. [c.202] Возможности точных аналитических методов ограничены, как правило, решением линейных задач теплопроводности, когда теплофизические характеристики материала не зависят от температуры, а граничные условия выражаются линейной комбинацией температуры и ее градиента на поверхности конструкции. Если в материале действуют внутренние источники теплоты, мощность которых является функцией температуры, то эта функция также должна быть линейной. [c.203] Сферу применения точных аналитических методов удается расширить путем линеаризации нелинейных задач. Простейший способ линеаризации нелинейного уравнения теплопроводности (4.3.10) состоит в замене переменных величин теплофизических характеристик их постоянными значениями при некоторой определяющей температуре. Выбор определяющей температуры должен базироваться на предварительном качественном анализе [45], который учитывает характер процесса теплопроводности (нагрев или охлаждение) и поведение заменяемых параметров в ожидаемом диапазоне изменения температуры материала. [c.203] Анализ показывает, что не всегда целесообразно в качестве определяющей выбирать в этом диапазоне среднюю температуру или же заменять переменные величины их средними значениями. Возникающую при этом способе линеаризации погрешность количественно можно оценить либо сравнением полученного решения при постоянных теплофизических характеристиках с результатами расчета, проведенного на основе учета их реальных зависимостей от температуры, либо путем параметрического анализа в рамках полученного решения, сравнивая между собой результаты расчета при различных сочетаниях предельных значений характеристик в рассматриваемом диапазоне температуры. [c.203] Точное аналитическое решение линейной или предварительно линеаризованной многомерной задачи нестационарной теплопроводности удается получить лишь для элементов конструкций сравнительно простой геометрической формы, ограниченных координатными поверхностями в какой-либо одной системе ортогональных координат. Для большинства таких тел известна и табулирована [42, 56] система собственных функций и спектр собственных значений соответствующей однородной задачи. Поэтому для подобных тел удобно использовать достаточно универсальный метод конечных интегральных преобразований. При однородных граничных условиях и одинаковой во всех точках тела начальной температуре решение многомерной задачи для тел простой формы удается представить в виде произведения решений соответствующих одномерных задач [42, 55]. [c.203] При М 00 и выборе в качестве w (Ai) полной системы собственных функций соответствующей однородной задачи (4.3,30), (4.3.31) формула (4.3.40) дает истинное решение рассматриваемой задачи нестационарной теплопроводности. [c.205] Методами взвешенных невязок удается решать и нелинейные задачи нестационарной теп-лопроводнобти, но при этом для определения В (1) в формуле (4.3.40) получается система нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений, которую в общем случае приходится интегрировать численно. Таким образом, температурное поле в теле в фиксированный момент времени описывается аналитической зависимостью, но переход от одного момента времени к другому связан с определением значений численным интегрированием. Переход к конечным интервалам времени позволяет использовать вариационную формулировку нелинейных задач [27], представляя анализ процесса нестационарной теплопроводности как последовательность решений ряда задач стационарной теплопроводности. [c.206] Зги отличия приводят к тому, что в соотношениях (4.3.30), (4.3.33) и последующих условиях ортогона-льности собственных функций следует положить с(Л/)=1, но спектр собственных значений v стационарной задачи по прежнему можно найти, минимизируя функционал (4.3.32). [c.206] Когда полная система собственных функций неизвестна (п М ) и они вместе с собственными значениями определены приближенно, бесконечные суммы в (4.3.44) и (4.3.45) заменяют конечными, состоящими из М слагаемых, каждое из которых может быть вычислено с некоторой погрешностью. Тогда (4.3.44) и (4.3.46) дают лишь приближенно аналитическое решение рассматриваемой задачи стационарной теплопроводности. Среднюю квадратическую погрешность такого решения можно оценить на основе вариационного подхода [27]. [c.207] В нелинейных задачах стационарной теп-.лопроводности для определения коэффициентов Bf используют нелинейную систему алгебраических уравнений, которую решают обычно численными методами с использованием ЭВМ [104]. [c.207] Так как под знаки интегралов по объему и поверхности тела в различных вариантах интегральной формулировки задачи теплопроводности входит искомое распределение температуры и компоненты его градиента, достаточно в простейшем варианте МКЭ в качестве кусочно-непрерывных функций w (M) рассматривать линейные функции от координат точки Л/е V , в пределах каждого конечного элемента объемом Vy, имеющего номер у. Тогда в случае трехмерной задачи распределение температуры в пределах конечного элемента однозначно выражается через четыре значения температуры в точках, которые будут соответствовать вершинам тетраэдра, в случае двумерной задачи - через три значения в вершинах треугольника, а для одномерной задачи - через два значения на концах элемента в виде отрезка прямой. [c.207] Для одномерной задачи Л9 М) является треугольной ф5чисцией, равной единице в узле с номером л и нулю в уздах с номерами Л-1 и л+1. Для двумерной задачи н (А/) - пирамидальная фзшкция, равная нулю во всех узлах элементов, имеющих общий узел с номером и, за исключением этою узла, вде она равна единице. Аналогичным образом строят функцию м/ М) ъ сдз чае трехмерной задачи. [c.208] Вернуться к основной статье