ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Порядок расчета из "Аналитические исследования динамики газа и жидкости " Полученное решение представляет, с одной стороны, осесимметричное течение, в котором подъемная сила ( обязательно равна нулю, с другой стороны — плоское течение, в котором подъемная сила может быть задана. Таким образом, здесь нельзя говорить о самой общей вариационной задаче. В связи с этим рассмотрим различные конкретные случаи. Порядок расчета при Лз(1 — i/) = 0. Этот случай представляет либо плоское течение, в котором величина подъемной силы не задается, либо осесимметричное течение. [c.80] Затем надлежит определить положение точки h. Однако вначале будем говорить о некоторой случайно выбранной точке Л. [c.80] Систему уравнений (2.40)-(2.43) следует интегрировать с начальными данными а(ук) = Oft, tf(yft) = oft, A2(yft), ф(ун) = Фн- Интегрирование производится от у = Ук до такого у = у, при котором ф Уt) = фа- Формулы (2.9) и (2.6) позволяют вычислить X к х при уь = у. [c.81] После определения искомой точки h и построения характеристики hb выделяется характеристика первого семейства ah. Течение в области ahb определяется решением задачи IVp a для уравнений (1.20) и граничных условий на характеристиках ah и hb. Искомый контур ab представляет собой линию тока dV = 0, проходящую через точку а и определяемую при помощи равенства (1.10). [c.81] Вместе с тем желательно убедиться в том, что характеристика ЛЬ, построенная на основе необходимых условий экстремума, удовлетворяет хотя бы каким-то необходимым условиям минимума. С этой целью в 3.3 и 3.4 будут выведены некоторые необходимые условия минимума. [c.81] Замечания. Если в качестве точки Л выбрать точку на характеристике ае, то ей, вообще говоря, соответствует некоторая точка Ь, и контур abt. Всем точкам характеристики ае соответствует в этом смысле некоторая кривая Ь, Ь. Очевидно, что если заданная точка Ь лежит выше по течению от кривой Ь, Ь,, то решение без разрушения характеристики ое невозможно. Это и есть тот путь, который позволяет выявить тип решения задачи при Аз(1 - м) = 0. [c.81] Покажем, что образующая аЬ должна иметь излом в точке а. Для этого используем соображения о разрешимости задачи и будем помнить, что при наличии излома в точке а задача разрешима, то есть количество произволов в определении функций равно количеству условий. Предположим, что излом имеет место (рис. 3.10) в некоторой точке д контура аЬ. В этом случае отрезок дк характеристики второго семейства должен обеспечивать краевой экстремум, а отрезки сд и кЬ — двусторонний экстремум. Неопределенность положения точки д дает задаче один дополнительный произвол. [c.82] На участке Ък имеем А5( /) = 0. В точке к величина Х Ун) = 0, а величина Аг имеет некоторое значение Х2(Уь)- На отрезке кд функции Аг(у) и Аз(у) подчиняются дифференциальным уравнениям (2.30) и (2.29) при Аз(1 - I/) = 0. Тем самым величины Од, дд, 2 Уд) и Х уд) определены и зависят только от уд. Точка д принадлежит экстремали дс, то есть в ней должны выполняться, в частности, равенства (2.28) и (2.34). Эти равенства связывают величины уд, ад, д, 2 Уд), 5(Уд)- Один произвол, который может рассматриваться как свобода в выборе у , вообще говоря, не позволяет удовлетворить уравнениям (2.28) и (2.34 Следовательно, предположение о том, что точка излома контура аЬ не совпадает с точкой а, приводит к неразрешимости задачи. [c.82] Уравнение (2.46) получено исключением величины Аз из уравнений (2.30) и (2.45). [c.83] Две координаты точки h и величина A3 должны быть выбраны так, чтобы выполнялось равенство у = Уь, л величины С и X равнялись заданным. [c.83] Область существования решений без разрушения характеристики ае определяется здесь в зависимости от заданной величины (. [c.83] Необходимость излома контура оЬ в точке а показывается аналогично тому, как это было сделано при Аз(1 - i/) = 0. [c.83] Произвольное задание одной из этих величин не меняет величин а и на экстремали. Только при некоторых частных соотношениях исходных данных решение имеет ранее рассмотренный вид (рис. 3.9). [c.84] Задача оказывается разрешимой, если искомые функции имеют разрыв в точке h. Этот разрыв должен принадлежать классу Р , поскольку рассматриваются течения без ударных волн в треугольнике ab . Решение этой задачи будет получено в 3.4.3. [c.84] Свойства решений. Вспомним, что необходимыми условиями экстремума при непрерывном решении задачи 1 являются уравнения (2.11), (2.15), (2.28)-(2.30), определяющие функции а(у), Цу), 2 у), As(y), ij y), и граничные условия (2.12), (2.18), (2.24), (2.34). После проведенного интегрирования необходимые условия экстремума сводятся к уравнениям (2.30), (2.35)-(2.37), (2.43) и граничным условиям (2.12), (2.18). [c.84] Пусть найдено решение некоторой задачи (рис. 3.9). Выберем произвольную характеристику первого семейства qt и линию тока ij, лежащие в треугольнике abh. Будем считать характеристику it и точку j, лежащую на характеристике bh, заданными. На характерйстике второго семейства jt выполняются все необходимые условия экстремума. Действительно, на jt выполняются уравнения 2.11), (2.15), (2.28)-(2.30), поскольку jt есть часть характеристики bh, в точке t, как отмечалось в 3.2.4, выполняется условие (2.34), а в точке j — условие (2.24). Выполнены и прочие условия, поскольку треугольник ijt является частью треугольника abh, в котором построено течение. Следовательно, если величины X, yj, Х , для отрезка линии тока ij считать заданными вместе с характеристикой it, то контур ij обладает минимальным волновым сопротивлением. [c.84] При Аз(1 - Z/) = о из (2.36) следует, что A4 0, если на всей экстремали д Ф Q, а Ф тг/2. При этих условиях величина 9 не меняет знак на экстремали. Если t = 0 в одной точке, то = 0 на всей экстремали. Этот случай имеет место, например, тогда, когда величина X не задается. При решении такой задачи необходимо положить величину A4 равной нулю. Тогда из (2.40) находим, что = 0 на экстремали. Это приводит к важному частному выводу в плоской задаче без ограничения на подъемную силу ( и длину X проекции искомого контура на ось х, а также в осесимметричном случае без ограничения на X угол наклона скорости к оси X на экстремали равен нулю. [c.84] Вернуться к основной статье