ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Принцип максимума Л. С. Понтрягина н возможности его, использования в задачах предельного анализа из "Несущая способность конструкций в условиях теплосмен " Применение аппарата математического программирования при решении задач предельного равновесия и приспособляемости сплошных тел вынуждает заменять строгие формулировки этих задач приближенными, использующими дискретные модели. Большие размеры получаемых при этом матриц ограничивают область приложения. В то же время имеются математические методы, позволяющие решать задачи предельного анализа непосредственно для сплошной среды—это методы математической теории оптимальных процессов, в частности принцип максимума Л. С. Понтрягина [13, 15, 121]. В задачах механики деформируемых тел этот принцип, по-видимому, впервые был применен А. И. Лурье [94]. [c.70] Рассмотрим некоторые определения, связанные с постанов кой и решением одной из задач математической теории оптимальных процессов [121]. [c.71] Принимается, что 0 бласти J и ке зависят от р и не связаны друг с другом. [c.71] Ps—не зависящие от р параметры управления. [c.71] Функции /г определены для любых значений х Х, u U, р и предполагаются непрерывными по совокупности переменных X, и, р, р и непрерывно дифференцируемыми по х, р, р. [c.71] В общем случае математическая теория оптимальных процессов позволяет установить необходимые условия оптимальности. Если удовлетворяющее этим условиям решение оказывается единственным, то необходимые условия становятся одновременно и достаточными. [c.72] Предположим, что оптимальная траектория найдена и может быть разбита на конечное число участков, каждый из которых либо целиком лежит на гладком куске границы области X, либо принадлежат (за исключением, быть может, своих концов) открытому ядру этой области. [c.72] Необходимые условия оптимальности для участков траектории, принадлежащих открытому ядру области X, дает следующая теорема. [c.72] Здесь (рг, ргч-i)—отрбзки, нз которых оптимальная траектория л (р) принадлежит открытому ядру области X. [c.72] Рассмотренная формулировка задачи оптимального управления включает единственную независимую переменную р, что позволяет использовать ее лишь при решении одномерных задач теории предельного равновесия и приспособляемости. Более общие формулировки даны в работе [15]. [c.73] Применение аппарата математической теории оптимальных процессов к определению предельных усилий на основании статической теоремы доясним на примерах круглых и кольцевых пластинок при осесимметричном нагружении. Заметим, что приведенная ниже схема решения применима и к задачам приспособляемости. Однако общая формулировка последних в обобщенных усилиях (приводящая их к одномерным) требует некоторых дополнительных сведений (см. гл. IV). [c.73] И рассмотрим несколько примеров, отличающихся формой поверхности текучести и условиями опирания пластинки. [c.74] Значение trir ) здесь выбрано с учетом условия (2.50) так, чтобы обеспечить максимальное значение ро. [c.75] В рассмотренных случаях вся оптимальная траектория /Лг(р) (за исключением, может быть, концов) принадлежит открытому ядру области X, определяемой неравенством (2.50). [c.75] В тех случаях, когда конец фазовой траектории должен принадлежать заданной замкнутой области, математическая теория оптимальных процессов дает специальные условия (условия трансверсальности), позволяющие установить, в какую точку этой области должна попасть оптимальная траектория. Здесь эти условия не используются, так как выбор mr(l) очевиден. [c.75] Поскольку ifi—непрерывная функция, из выражений (2.65) следует, что при любых р 0 она не меняет знак. [c.77] Это уравнение совместно с краевыми условиями и с учетом непрерывности Шг(р) определяет оптимальную траекторию и значение параметра р = ро. [c.77] Такой путь ведет к получению двух различных фазовых траекторий. Поскольку распределение усилий в состоянии разрушения является единственным [81], только одна из них дает оптимальное решение, удовлетворяющее заданным краевым условиям. [c.77] Нетрудно убедиться, что при этом всюду гпг . [c.78] Вернуться к основной статье