ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Канонические преобразования и эффективное интегрирование из "Лекции по классической динамике " ПЛЮС ИЛИ МИНУС В литературе по каноническому формализму полностью отсутствует единообразие выбора знаков в определениях основных объектов скобки Пуассона, симплекти-ческой единицы, канонической 2-формы и т. д. [c.252] Дело в том, что по ряду причин следовало бы изменить знак функции Гамильтона. Поскольку это невозможно, каждому пишущему о гамильтоновом формализме приходится в одиночку бороться с появляющимися то там то здесь минусами. [c.252] Теперь нам надо увериться в том, что канонические координаты существуют всегда. Мы сделаем это в два этапа. [c.253] Тогда существуют еще п функций Ч ,,. .., Wn таких, что набор (Ф]. Фп, Fi,. .., Ч п) является канонической системой координат (в частности, функции Ч ,- также попарно в инволюции). [c.253] ТЕОРЕМА ДАРБУ. В окрестности каждой точки канонического многообразия суш,ествуют канонические координаты. [c.255] что переменные P, Q — тоже канонические. Замена называется канонической перестановкой по индексам /ь. .., / . [c.255] Это значит, что функции Fu F зависимы. Противоречие. [c.257] Про них говорят, что они локально задают отображение. [c.257] Эти два прочтения термина преобразование взаимозаменяемы в самом деле, формулы (А), задающие преобразование,, можно использовать для задания новых координат и, наоборот правые части формул (Б) можно применить для задания некоторого отображения (тривиальные уточнения формулировок опустим). Тем не менее полезно всякий раз ясно представить себе что именно имеется в виду. [c.258] Теорема. Фазовый поток gn- гамильтонова векторного поля И состоит из канонических отображений. [c.259] Проделанное рассуждение — маленький фрагмент теории интегральных инвариантов Пуанкаре. [c.259] Пример канонической замены — перестановка (19.9). [c.260] Термин первообразная канонической замены переменных в настоящих лекциях введен впервые. По всей видимости, это понятие до сих пор не выделялось, хотя инкогнито первообразные функции и появлялись в литературе, начиная с работ Пуанкаре. [c.261] По лемме Каратеодори любая каноническая замена переменных может быть превращена в стандартную несколькими каноническими перестановками. Аппарат производящих функций в этом смысле универсален. [c.261] Указания. Использовать условия на А, В, С, D, полученные ранее (в начале 17) решить задачу сначала в случае п = 1, т. е. когда А, В, С, D — числа. [c.262] Таким образом, мы сначала делаем замену переменных в гамильтониане, потом дифференцируем, но не преобразуем сами уравнения. Этим канонические замены выгодно отличаются от произвольных. [c.262] Таким образом, S(P, q) удовлетворяет некоторому уравнению в частных производных, которое называется уравнением Гамильтона—Якоби. [c.262] Уже отмечалось, что состояния равновесия гамильтоновой системы — это критические точки гамильтониана. Если в окрестности равновесия p = q = Q разложить Н в ряд Тейлора Н = Н2 + -ЬЯз +. .., где Hk — сумма членов степени k, то гамильтониан Яг даст линейные уравнения, являющиеся приближением для исходных. Сейчас мы увидим, как канонические замены позволяют улучщать качество приближения. [c.263] Таким образом, в переменных Р, Q линейное приближение на порядок точнее. [c.263] Вернуться к основной статье