ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы След и детерминант из "Математическая теория рассеяния Общая теория " Подробное изложение материала этого параграфа можно найти в книгах [4, 7, 31, 36. [c.58] Спектр компактного оператора А описывается классической теоремой Фредгольма, Именно, при А Е воо множество о А) состоит из собственных чисел, накапливающихся разве лишь к точке нуль. Кроме того, ненулевые собственные числа имеют конечные алгебраические кратности.Анг логичный результат справедлив для компактных операторов, действующих в произвольном банаховом пространстве, а также для операторов, лишь некоторая степень которых компактна (подробнее см. 8). Поясним, что в банаховом пространстве оператор называется компактным, если он переводит любое ограниченное множество в компактное. Класс компактных операторов, вообше говоря, шире замыкания конечномерных операторов по норме. Будем считать, что собственные числа А = Ап( ) оператора А Е боо (или такого, что А Е оо при каком-либо натуральном /) пронумерованы с учетом алгебраических кратностей в порядке невозрастания их модулей. [c.59] На бесконечномерный случай переносятся многие свойства следов, известные из линейной алгебры. [c.60] С помощью (2) доказательство этого предложения может быть получено совсем просто. Нужно лишь учесть, что операторы АВ и ВА имеют общие ненулевые собственные значения, причем их алгебраические кратности совпадают. [c.60] Из (7) и альтернативы Фредгольма следует, что оператор I-I-А ограниченно обратим в том и только в том случае, когда Det(I-hA) ф 0. [c.61] Функция Det (7 + А) непрерывна при изменении А в ядерной норме, т.е. [c.61] Последнее равенство может быть установлено аппроксимацией в 61 операторов А и В конечномерными операторами. [c.61] При Л G 61 эта формула является, конечно, следствием (10) и (17). [c.62] Вернуться к основной статье