ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Системы гиперболического типа с особенностями Бунимович) из "Динамические системы - 2 " Гиперболические динамические системы с особенностями возникают во многих важных физических проблемах. Кроме того, при переходе к отображению Пуанкаре потоков, отвечающих гладким, даже аналитическим системам обыкновенных дифференциальных уравнений, часто теряется гладкость (см. далее). Переход же к отображению Пуанкаре и представление исходного потока в виде специального потока (см. гл. 1, 4) являются в настоящее время наиболее эффективными методами исследования эргодических свойств динамических систем с непрерывным временем. [c.173] Среди динамических систем с особенностями наиболее важны, как для приложений, так и для общей теории, динамические системы с упругими отражениями от края или, как их принято называть, биллиарды. Биллиардом называется динамическая система, отвечающая движению по инерции материальной точки внутри области с кусочно гладкой границей с условием упругого отражения от границы области. [c.174] Пусть — касательное пространство к подмногообразию Fi в точке q, n q) —единичный вектор нормали к q, направленный внутрь Q. Если q — регулярная точка границы, то вектор n(q) определен однозначно В особых точках может быть несколько векторов n q). [c.174] Зададим в М меру ц, положив dii = dp q)d(x q, где dp q) — элемент объема на Q, индуцированного римановой метрикой, (йд — мера Лебега на офере S дУ=л (q). [c.174] Рассмотрим на пространстве М геодезический поток (см. гл. 1, 1). Он определяется векторным полем Х= Х х), х М), где Х(х) — касательный вектор к М в точке х. Тогда X определяет движение точки с единичной скоростью по геодезическим линиям в М. Пусть есть множество таких внутренних точек х= (q, v)eM, что отрезок геодезической, проведенной по направлению х, пересекает SQ в точке множества ГчИГ . Ясно, что Nij есть замкнутое подмногообразие коразмерности 1, и поэтому n,(UiVij)=0. [c.174] Мы будем предполагать, что для почти каждой (в смысле меры (х) точки J бIntЛi геодезическая, проведенная по направлению X, пересекается с границей дО . Это свойство выполняется во всех известных в настоящее время интересных примерах биллиардов. Пусть 5 — наименьшее положительное число такое, что геодезический сегмент длины 5, проведенный по направлению X, оканчивается в регулярной точке границы дQ. (Можно показать, что мера ц, множества точек, через которые проходят геодезические сегменты, оканчивающиеся в особых точках дQ, равна нулю). Обозначим через у касательный к Q вектор, полученный из х при помощи параллельного перенесения вдоль геодезической до конца сегмента длины 5. Отразим у в точке я = к у) по закону угол падения равен углу отражения , т. е. построим новый касательный вектор у =у—2(п д), у)п д). Выпустим по направлению у геодезический сегмент до следующего пересечения с границей и т. д. Можно показать, что множество точек х, для которых описанный процесс приводит к бесконечному числу отражений за конечное время, имеет меру 0. Будем считать также, что для почти всех точек все получающиеся при этом геодезические сегменты имеют конечную длину. [c.175] Если у= д,ь) —точка границы дМ, то удобно отождествить у с точкой у =у—2 п д),у)п д). Получающееся в результате этого отождествления множество также будем обозначать М. [c.175] Определение. Группа преобразований Р называется биллиардом в Q. [c.175] Можно (Показать [23], что мера ц, инвариантна относительно группы Г , и, тем самым, биллиард является потоком в смысле эргодической теории. М обычно называют фазовым, а Q — конфигурационным пространством биллиарда. [c.175] Из приведенного определения непосредственно видно, что-биллиарды можно рассматривать как геодезические потоки на римановых многообразиях с краем с условием отражения от него по закону угол падения равен углу отражения . Биллиард в области Q можно определить и как гамильтонову систему с потенциалом У д)=0 при eInt Э и 1/( ) =оо при д дЯ. [c.175] Наглядно утверждение этой теоремы означает следующее если группа конечна, то при движении по биллиардным траекториям из данного начального направления может получиться только конечный набор направлений. В двумерном случае конечность группы Оа эквивалентна соизмеримости всех углов многоугольника Q. [c.176] Проблема изучения эргодических свойств биллиардов в произвольных многоугольниках (и, тем более, многогранниках) в настоящее время остается открытой. Основные имеющиеся здесь результаты даются следующими двумя утверждениями ([54], [23]). [c.177] Теорема 1,2. Энтропия динамической системы, отвечающей биллиарду внутри произвольного (не обязательно выпуклого) многогранника, равна нулю. [c.177] Теорема 1.3. Если углы многоугольника Q соизмеримы, то почти все траектории отвечающего ему биллиарда плотны в Q. [c.177] Существовала гипотеза, что любая траектория биллиарда в многоугольнике либо периодическая, либо всюду плотна. Недавно Г. А. Гальперин показал, что существуют примеры многоугольников, для которых Это не так есть траектория, всюду плотно заполняющая некоторую подобласть соответствующего многоугольника. По -видимому, такая ситуация является достаточно распространенной. [c.177] К изучению биллиардов в многоугольниках и многогранниках сводятся некоторые задачи классической механики. Пусть на отрезке движется п 2 материальных точек, упруго отражающихся друг от друга и от концов отрезка. Так как порядок точек на отрезке при их движении не меняется, то конфигурационным пространством этой системы является симплекс. Можно показать, что закон упругого столкновения частиц приводит к отражению траектории от границы этого симплекса по закону угол падения равен углу отражения . [c.177] Оказывается, что изучение эргодических свойств биллиардов важно и для некоторых задач теории дифференциальных уравнений с частными производными. [c.178] Определение. Гладкая кривая у, лежащая внутри области Q zR , называется каустикой, если из того, что хотя бы одно звено (один отрезок) произвольной конфигурационной траектории биллиарда в Q касается у, следует, что все остальные звенья этой траектории также касаются у. [c.178] В случае окружности имеется одно семейство каустик — концентрические окружности, а у эллипса два — софокусные с ним эллипсы и гиперболы. [c.178] Шнирельман [47] показал, что для эргодических биллиардов носители собственных функций оператора Лапласа в Q при Я,- сю в определенном смысле заполняют всю область. [c.179] Вернуться к основной статье