ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Нормальная ферма автономной системы линейных гамильтоновых уравнений в случае простых чисто мнимых корней характеристического уравнения из "Точки либрации в небесной механике и космодинамике " Дифференциальные уравнения возмущенного движения, к рассмотрению которых приводит задача об устойчивости движения, как правило, нелинейны. Их исследование начинается обычно с анализа соответствующей системы уравнений первого приближения. Будем рассматривать только те случаи, когда дифференциальные уравнения первого приближения линейные. [c.30] Таким образом, уравнение (1.3) содержит только четные степени К. Поэтому, если у него есть корень X — а, имеющий отрицательную вещественную часть, то обязательно будет и корень К = —а с положительной вещественной частью, а значит, система (1.1) (а вместе с ней и невозмущенное движение) неустойчива. [c.31] Мы получили, следовательно, такое условие устойчивости системы (1.1) для устойчивости системы (1.1) необходимо, Чтрбк корни характеристического уравнения были чисто мнимыми. Это условие будет и достаточным, если дополнительно потребовать, чтобы матрица Ш приводилась к диагональной форме [51]. [c.31] Но будет ли при вьшолнении этих условий устойчиво невозмущенное движение — зависит от членов более высокого порядка в нелинейных уравнениях возмущенного движения. [c.31] Продолжим исследование линейной системы дифференциальных уравнений (1.1). Предположим, что соответствующее ей характеристическое уравнение (1.3) имеет только простые чисто мнимые корни. Обозначим их через = ia , Хп+к = (к = 1, 2,. . . [c.32] задача об алгебраических свойствах линейных систем гамильтоновых дифференциальных уравнений исследована достаточно подробно [15, 28, 49, 90, 98, 109, 145,149,154, 157, 179-183]. Для систем с постоянными коэффициентами в работах [15, 28, 98] получены конструктивные методы нормализации. Мы рассмотрим задачу получения нормальной формы иначе, чем в упомянутых работах [15, 28, 98], и получим алгоритм нормализации, который будет весьма простым, так как его применение сводится только к нахождению собственных векторов матрицы Ш. [c.32] Решение матричного уравнения (2.4) не единственно. Чтобы найти нормализующее преобразование, надо из бесчисленного множества решений матричного уравнения (2.4) выбрать хотя бы одно вещественное, удовлетворяющее уравнению (2.5). [c.33] Собственные векторы определяются с точностью до постоянного множителя. Примем этот множитель вещественным и одинаковым для векторов и е +т. Кроме того, соответствующие компоненты этих векторов выберем комплексно сопряженными. Такой выбор собственных векторов обеспечивает вещественность матрицы А. Произвольные множители собственных векторов определяются из условия их нормировки, которое ниже будет получено из условия (2.5) каноничности преобразования (2.3). [c.33] При одновременном изменении знаков и компонент вектора система уравнений (2.16) не изменяется. Знак же скалярного произведения (Гй, 18 ) изменяется на противоположный. Поэтому равенству (2.15) можно всегда удовлетворить выбором знака в гамильтониане (2.1) и соответствующей нормировкой собственного вектора е . [c.35] Произведя некоторые вычисления, получим, что симплектиче-ская матрица А нормализующего преобразования невырожденная, вещественная и к-ш ее столбцом будет вектор —2з , а (га -Ь к)-м — вектор 2т . [c.35] Вернуться к основной статье