ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Свойства притяжения внутри произвольного трехмерного тела из "Небесная механика Основные задачи и методы Изд.2 " Перейдем теперь к рассмотрению общего случая, когда тело имеет произвольную форму и произвольную структуру. [c.71] Мы будем предполагать только, что плотность тела 6(Л1) сть непрерывная функция текущей точки М, но и это допущение не всегда будет являться существенным и в ряде случаев го можно заменить несколько более общим предположением. [c.71] Интегралы в формулах (2.12) и (2.13) оказываются несобственными, когда точка Р является частью тела, а поэтому прежде всего необходимо исследовать эти интегралы на сходимость, т. е. выяснить, имеют ли они конечные значения во внутренних точках рассматриваемого тела. [c.72] В предыдущем параграфе было показано, что в случае однородного шара выражения (2.12) и (2.13) действительно остаются конечными и непрерывными, когда точка Р находится внутри шара. Эти результаты без труда устанавливаются также и для случая произвольного тела, что сразу же делается ясным при помощи следующих простых соображений. [c.72] Пусть точка Р есть внутренняя точка тела Т. Вообразим сферу 21 с центром в Р а настолько малого (но конечного ) радиуса р, что вся эта сфера целиком погружена в область пространства, занимаемую телом. [c.72] По непрерывности плотности б значения функции и иХв точке Р будут весьма мало отличаться от их значений при постоянной плотности в сфере 2. Но силовая функция и составляющие силы притяжения, как было показано в 5, конечны и непрерывны внутри однородного шара. А так как для остальной части тела Т точка Р является внешней, то силовая функция и составляющая силы притяжения этой остальной части заведомо конечны и непрерывны. Следовательно, и для всего тела функции и и X также будут конечны и непрерывны. [c.72] Приведенное рассуждение носит скорее описательный характер и хотя обладает наглядностью, все же не может заменить строгого доказательства, к которому теперь мы и переходим. [c.72] В формулах (2.15) и (2.16) подынтегральные функции не содержат множителем Д , а поэтому остаются конечными во всех точках области интегрирования. Так как область интегрирования также конечна (тело имеет конечные размеры ), то функции (У и X, У, Z и м е-ют конечные значения в каждой внутренней точке тела. [c.73] Примечание. Нетрудно заметить, что функции U Р) и Х Р) остаются также конечны.ми и в том случае, когда плотность б(Л1) не непрерывна внутри тела Т, а имеет точки, линии или поверхности разрыва первого рода. [c.74] Для доказательства вообразим сфс-ру S с центром в точке Р малого радиуса р и допустим, что точка Р находится внутри этой сферы (рис. 12). [c.74] Переходим теперь к оценкам числовых значений отдельных слагаемых в этих формулах. [c.74] Свойство . Силовая функция тела конечных размеров и непрерывной плотности остается конечной, однозначной и непрерывной, когда притягиваемая точка находится внутри тела или на его поверхности. [c.76] Свойство 2. Составляющие силы притяжения тела конечных размеров и непрерывной плотности также остаются конечными, однозначными и непрерывными, когда притягиваемая точка находится внутри тела или па его поверхности. [c.76] Пусть Р х, у, г) есть внутренняя точка тела, в которой по-прежнему сосредоточена единичная точечная масса. [c.76] Вернуться к основной статье