ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Обобщение случая Ковалевской из "Динамика твёрдого тела " Семейство (7.1) использовано нами в 1 гл. 4 для построения наиболее общего интегрируемого семейства для кватернионных уравнений (4.24) гл. 1, для которых получается общий случай интегрируемости с линейным интегралом и интегралом четвертой степени. [c.297] Наиболее общее семейство (7.1) было указано X. Яхьей [286]. Более ранние результаты, содержащие дополнительные ограничения на свободные параметры в (7.1) принадлежит Д. Н. Горячеву (А = 0) [63] и С. А. Чаплыгину (а = О, А = 0) [175]. [c.297] Отметим, что в работе X. Яхьи [285] интеграл F указан неверно, хотя, возможно, это и связано со странной опечаткой. Интересно отметить, что при а = О этот случай является общим случаем интегрируемости (и не связан с нулевым уровнем интеграла площадей). [c.298] При А = О это обобщение было указано в работах И. В. Комарова [104, 239], его интегрирование с помощью обобщенного метода Ковалевской выполнено нами в [34, 197] (см. также 8 гл. 5). Интегрируемость системы (7.5) при А 7 О указана авторами, по-видимому, впервые (см. также [34, 197]), ее явное интегрирование до сих пор не выполнено. [c.299] Бифуркационный анализ системы (7.5) (как при А = О, так и при А 7 0) также не выполнен, и вопрос о (траекторном, топологическом) изоморфизме систем при ж = О и при х фО остается открытым. Можно лишь показать, что они не переводятся друг в друга при помощи неоднородного вещественного линейного преобразования. Вопрос о бигамильтоновости и наличии спектрального представления Лакса здесь также остается открытым. [c.299] Этот факт пока не имеет разумного объяснения. Укажем только, что между волчками Ковалевской и Горячева-Чаплыгина имеется также несколько странная взаимосвязь на уровне пар Лакса, отмеченная в [193]. [c.299] При А = О для системы (7.5) существует аналог частного (периодического) решения Делоне при /с1 = /с2 = О, в этом случае коммутатор (7.7) на уровне инвариантных соотношений к = /с2 =0 также задает интеграл третьей степени (см. также 4 гл. 2). [c.299] Замечание 2. Обобщения случаев интегрируемости с сингулярными добавками (см. предыдущий пункт) на пучке х до сих пор не найдены. [c.301] Вернуться к основной статье