ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Геометрическая интерпретация системы (А) на фазовой плоскости из "Методы и приемы качественного исследования динамических систем на плоскости " Автономная динамическая система (А) определяет в области С векторное поле. Поэтому система (А) называется также динамической системой на плоскости. [c.15] Во всякой не особой точке М векторное поле непрерывно в том смысле, что угол между векторами в любых двух достаточно близких к точке М точках сколь угодно мал и длины этих векторов сколь угодно мало отличаются друг от друга. Особые точки могут быть точками разрыва векторного поля. [c.15] Уравнения (3) очевидно являются параметрическими уравнениями траектории. Обратно, если дана какая-нибудь траектория, то решение, которому она соответствует, называется решением, соответствующим данной траектории. [c.15] В каждой точке Л/(х, у) траектории L, не являющейся особой точкой векторного поля, вектор v с компонентами Р х, у), Q x, у) является касательным вектором к траектории L (рис. 1). [c.16] Пусть Мо(а, Ъ)— особая точка системы (А), так что Р а, b) = Q a, Ь)=0. [c.16] Приведем следующие два основных предложения. [c.16] Тогда решение (3) определено при всех значениях t (т. в. i = —оо, Г = +оо), функции ф(0 и i])(i) являются периодическими функциями t, а соответствующая траектория — простой гладкой замкнутой кривой. [c.16] Замечание. Все решения, соответствующие данной замкнутой траектории, являются периодическими решениями с одним и тем же периодом. [c.16] Таким образом, задавая в области С (которая может совпадать со всей плоскостью) динамическую систему (А), мы тем самым задаем некоторое семейство траекторий, или, в другой терминологии, разбиение этой области (или плоскости) на траектории. [c.17] Вернуться к основной статье