ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Основные принципы из "Основы теории упругости и пластичности " Определив частные производные от выражения (2.15) по деформациям е, е , е . .., уху, получим соответствующие напряжения. [c.43] Выражения (2.16) представляют собой так называемые формулы Грина. [c.43] Если в (2.17) и (2.18) вместо деформаций подставить соответствующие им выражения из (2.8), то нетрудно показать, что подынтегральные функции в (2.17) и (2.18) будут одинаковы. [c.44] мы доказали, что для упругого тела, следующего закону Гука, работа усилий, вызванных действием сил первого состояния, на перемещениях, вызванных действием сил второго состояния, равна работе усилий, вызванных действием сил второго состояния, на перемещениях, вызванных действием сил первого состояния. [c.45] Это и есть так называемый принцип взаимности работ или теорема Бетти. Этот принцип распространяется в равной мере как на работу внутренних усилий, так и на работу внешних нагрузок. [c.45] Следует отметить, что теорема Бетти о взаимности работ может быть подобным же образом доказана и для любого анизотропного тела, для которого обобщенный закон Гука в самом общем виде может быть представлен выражениями (2.2). [c.45] Принцип взаимности работ — один из основных принципов классической линейной теории упругости. [c.45] Согласно началу возможных перемещений работа всех внешних сил, действующих на упругое тело, находящееся в равновесии, на любом возможном перемещении равна приращению потенциальной энергии. [c.45] Под возможными перемещениями бн, бп, Ью понимают такие, которые совместимы с условиями закрепления тела на границах и условиями неразрывности внутри тела. [c.45] Первый интеграл представляет собой работу объемных сил, а второй — поверхностных внешних сил. [c.46] При этом предполагается, что напряжения (о, о , а . ..) не изменяются в процессе варьирования перемещений, а возможные перемещения достаточно малы. [c.46] Так как все внутренние и внешние силы считаются неизменными при вычислении работы па любых возможных перемещениях, то значок 6 можно вынести за знак интеграла. [c.46] Первый интеграл в скобках представляет потенциальную энергию деформации, а второй — потенциальную энергию внешних объемных сил, действующих ца тело, если принять потенциал этих сил равным нулю при п = и = и = 0. Таким образом, все выражение в скобках есть полная потенциаль- ная энергия системы, а выражение (2.20) указывает, что в случае равновесия тела возможные перемещения должны быть такими, чтобы полная потенциальная энергия системы имела экстремальное значение. Если равновесие устойчивое, то потенциальная энергия системы будет минимальной. [c.46] Отметим, что начало возможных перемещений может применяться и к упругим телам, не следующим закону Гука. [c.46] При всяком виртуальном изменении напряженного с -СТОЯ1ШЯ тела сумма работ приращений всех виешпих сил бХ, бУ, 62, бХ, бУ, 62, производимых на перемещениях, статически соответствующих этим силам (т. е. на действительных перемещениях тела), равна приращению потенциальной энергии тела. [c.47] Если выражение (2.24) проинтегрировать по всему объему и принять во внимание (2.21) и (2.22), то можно доказать справедливость (2.23) ). [c.48] Таким образом, из сказанного следует, что начало виртуальных изменений напряженного состояния можно применять только к таким упругим телам, которые следуют закону Гука. [c.48] Это означает, что из всех напряженных состояний, статически соответствующих заданным внешним нагрузкам тела, действительное напряженное состояние должно удовлетворять условию (2.26), т. е. обращать приращение потенциальной энергии в нуль. Мояшо показать, что действительное напряженное состояние тела обращает потенциальную энергию тела в минимум. [c.48] Вернуться к основной статье