ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Составление уравнений пограничного слоя для течения вдоль плоской пластины из "Теория пограничного слоя " Перейдем к рассмотрению второго предельного случая, случая очень малой вязкости или, в более общем виде, случая очень большого числа Рейнольдса. Знаменательный успех в исследовании движений жидкости при больших числах Рейнольдса был достигнут в 1904 г. Л. Прандтлем [ ], показавшим, каким образом проявляет себя вязкость при больших числах Рейнольдса и каким путем можно упростить дифференциальные уравнения Навье — Стокса для того, чтобы получить их приближенные решения в предельном случае очень малой вязкости. [c.124] Как правило, пограничный слой тем тоньше, -чем меньше вязкость или, в более общей формулировке, чем больше число Рейнольдса. В главе V мы выяснили на основании некоторых точных решений уравнений Навье — Стокса, что толщина пограничного слоя пропорциональна корню квадратному из кинематической вязкости, т. е. б У V. Долее, при упрощениях, которые несколько ниже будут сделаны в уравне1и . V Навье — Стокса с целью получения из них уравнений погранично о слоя, принимается, что толщина пограничного слоя очень мала по сравнеырш с некоторым характерным линейным размером Ь тела, т. е. б I/. О том, какой именно размер тела надо выбрать за характерный, будет сказано в следующем абзаце. Таким образом, решения уравнений пограничного слоя представляют собой по существу асимптотические решения для очень больших чисел Рейнольдса. [c.125] Граничными условиями будут прилипание жидкости к стенкам, т. е. [c.125] Разделим толщину пограничного слоя б на характерный линейный размер тела L, т. е. сделаем эту толщину безразмерной. Такая безразмерная толщина — будем обозначать ее той же буквой б — на основании сделанного выше предположения должна быть весьма мала по сравнению с единицей, т. е. [c.126] Приступим теперь к оценке отдельных членов уравнений (7.1), (7.2) и (7.3) с целью отбросить численно малые члены и тем самым упростить уравнения. Из уравнения неразрывности сразу видно, что, поскольку величина ди дх имеет порядок единицы, такой же порядок имеет и величина dv/dy. Но так как на стенке скорость г = О, то отсюда следует, что в пограничном слое величина скорости v имеет порядок б. Поэтому такой же порядок б имеют в пограничном слое и величины dv/dx и дЪ дх , Величина д и дх имеет порядок единицы. Полученные в результате этой оценки порядки подписаны в уравнениях (7.1) — (7.3) под соответствующими величинами. [c.126] Система уравнений (7.7) и (7.8) называется уравнениями Прандтля для пограничного слоя. Скорость и (х, 1) потенциального течения следует рассматривать как известную функцию, определяющую посредством уравнения (7.5) распределение давления. Кроме того, для момента времени = О должно быть задано соответствующее условиям задачи течение в пограничном слое во всей области рассматриваемых значений г и г/. [c.127] Кроме того, в начальном поперечном сечении х = Хо должен быть задан начальный профиль скоростей и (хо, у). Следовательно, задача расчета течения в пограничном слое сводится к расчету дальнейшего развития заданного начального профиля продольных скоростей при заданном потенциальном течении. [c.128] Упро1цение уравнений Навье — Стокса, полученное Прандтлем, с математической точки зрения весьма значительно. Правда, теперь, в противоположность дифференциальным уравнениям ползущего движения, сохраняется нелинейный характер уравнений Навье — Стокса, однако из трех первоначальных уравнений плоской задачи с переменными и, у, р одно уравнение, а именно уравнение движения для направления, перпендикулярного к стенке, полностью отпадает. Соответственно этому сокращается на единицу число неизвестных, и остается система уравнений только с двумя неизвестными гг и у. Давление р уже не является неизвестной величиной, гак как оно может быть определено из уравнения Бернулли, составленного для потенциального течения около рассматриваемого тела, причем это течение следует считать заданным. Кроме того, в единственном из оставшихся уравнений движения один из двух членов, зависящих от вязкости, теперь отсутствует. [c.128] Предыдущие рассуждения были проведены для плоской стенки. Однако они легко переносятся на случай искривленных стенок [ ]. При этом выясняется, что уравнения пограничного слоя (7.10) — (7.12) сохраняют свою применимость, правда, при условии, что радиус кривизны стенки не претерпевает очень больших изменений, как это имеет место, например, на острых кромках. [c.128] Приведенный выше вывод уравнений пограничного слоя был с самого начала основан на физической предпосылке о существовании такого слоя жидкости, в котором основную роль играют силы трения. В противополож- ность этому была сделана попытка вывести уравнения Прандтля для пограничного слоя из уравнений Навье — Стокса чисто математическим путем, без привлечения физически наглядных представлений [ ]. [c.128] Вернуться к основной статье