ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Инфинитезимальный оператор группы. Алгебра Ли из "Основы теоретической механики Изд2 " Для того чтобы не интересоваться областью определения функций 9 = 3(9, а) как по переменной д, так и по параметру а, предполагают, что преобразования определены на некотором открытом множестве из Я и в достаточно малой окрестности некоторой точки а. [c.209] Тем самым функция д = Я я, а) определяет локальное семейство локальных преобразований. [c.209] Заметим, что требование ассоциативности операции, необходимое при общем определении группы, здесь излишне, поскольку композиция преобразований этому свойству, очевидно, удовлетворяет. [c.209] Важнейшие примеры групп Ли. [c.209] В стоящей под знаком детерминанта блочной матрице матрица А = a, j окаймлена столбцом из элементов 6,-, строкой из элементов Oj и последним диагональным элементом 6. [c.210] Эта функция, аналитическая в окрестности единицы (а = е и 6 = е), и представляет собой выражение групповой операции. [c.210] Приведем выражения для инфинитезимальных операторов в перечисленных выше примерах групп Ли. [c.211] Получившийся объект линейное пространство операторов с введенной в этом пространстве операцией умножения называется алгеброй Ли. [c.215] Алгебра Ли порождается группой Ли. Верно и обратное если даны какие-то п линейно независимых операторов, таких, что коммутатор любой пары есть их линейная комбинация, то они порождают некоторую п-параметрическую группу Ли (вторая обратная теорема Ли). [c.215] Абстрактное определение алгебры Ли не связано ни с группами, ни с операторами и определяется посредством введения в линейном пространстве операции умножения билинейной, кососимметрической и удовлетворяющей тождеству Якоби. Пример трехмерное векторное пространство с операцией векторного произведения есть алгебра Ли. [c.215] Вернуться к основной статье