ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Неявные способы задания стороннего Тока из "Основы теории дифракции " Условия непрерывности тангенциальных компонент поля на поверхности раздела двух диэлектриков (2.1) и соответствующие условия (4.9) в скалярной задаче, как мы уже отмечали, гарантируют отсутствие на этой поверхности скрытых сторонних токов. Тем самым создается возможность и поверхностные токи задавать не явным образом, а в виде значений скачка тангенциальных компонент Е или Н (или Е й. Н) на какой-либо поверхности. Эта поверхность может и не быть поверхностью разрыва свойств среды. [c.41] Другой класс задач, в которых удобно пользоваться неявным способом задания токов, возникает, если поле ищется с одной стороны какой-либо поверхности, а источники расположены с другой. Неявное задание их состоит в том, что на этой границе— на поверхности области, в которой ищется поле — задаются какие-либо граничные значения. [c.41] В каждом из этих случаев теорема единственности гарантирует однозначность решения, так как разностное поле должно на границе удовлетворять условию и = 0 или ди/дЫ = О, т. е. условию, обеспечивающему отсутствие притока энергии в эту область. Разумеется, однозначность требует выполнения также и всех остальных условий, обеспечивающих отсутствие других скрытых токов и существование в поле каких-либо потерь энергии. [c.41] Одновременное задание на всей ограничивающей область поверхности и и 8), и ди/дЫ делает задачу, вообще говоря, неразрешимой, т. е. нарушает условия теоремы существования произвольно заданные функции Ф(5) и (5) в (4.13) противоречат друг другу. Действительно, задав одну из них, мы однозначно задаем поле во всем объеме, а тем самым и вторую функцию. Можно, разумеется, задать Ф(5) на части поверхности, а на дополнительной части — функцию 4 (5). [c.41] В векторной задаче на замкнутой границе области может быть задана тангенциальная компонента Е или тангенциальная компонента И. Одновременное их задание также вообще говоря, противоречиво, как одновременное задание и и ди/дМ. [c.41] Явные виды решения описанных в последних четырех абзацах граничных задач приведены в 11. [c.41] Для решения задачи о дифракции для тел нескольких простых форм применйм простейший метод нахождения поля — метод разделения переменных. Суш,но-сть метода состоит в том, что решение иш.ется в виде бесконечной суммы, каждый член которой есть произведение функций, зависящих только от одной координаты. Условием применимости этого метода является существование такой системы координат, в которой, во-первых, поверхность тела совпадает с какой-либо координатной поверхностью, и, во-вторых, уравнения Максвелла (для акустики волновое уравнение) распадаются на несколько обыкновенных дифференциальных уравнений. Для двумерных задач метод применйм к клину и цилиндрам, ограниченным кривыми второго порядка. В трехмерных задачах тела могут быть ограничены любыми поверхностями второго порядка мы рассмотрим только задачу о сфере. [c.42] Подробнее всего исследуем задачу о круговом металлическом цилиндре. На примере скалярной задачи рассмотрим два типа рядов, получающихся при использовании метода разделения переменных — ряды Релея и ряды Ватсона. Векторная задача интересна тем, что на ней иллюстрируется явление деполяризации. Решение скалярной задачи о диэлектрическом круговом цилиндре в форме Релея получается без привлечения новых идей, а задача о диэлектрическом некруговом цилиндре более сложна. Теория дифракции на сфере аналогична теории дифракции на круговом цилиндре, но при дифракции на сфере всегда происходит деполяризация. В теории дифракции на клиие интерес представляет аналитическое суммирование ряда Релея, преобразование его в контурный интеграл и исследование этого интеграла для различных точек пространства. Задачи о дифракции на цилиндре, сфере и клине иногда называют эталонными, подчеркивая этим, что некоторые характеристики полученных решений переносятся на более сложные задачи. [c.42] Эти утверждения справедливы согласно п. 2.4 и для металлических тел. Таким образом, эти два утверждения означают, что при упомянутых условиях дифракция не нарушает линейной поляризации, т. е. что в дифрагированном поле не возникает компонент, которые были равны нулю в падающем поле. [c.43] После этих предварительных замечаний можно перейти к применению метода разделения переменных в задаче о дифракции на цилиндре при д/дг = О, Каждая из двух систем (5.1) описывает, очевидно, и акустическую задачу, однако мы будем пользоваться электродинамической терминологией. [c.44] Существует, разумеется, еще решение Ф = sin тф, но для простоты записи будем считать падающее поле четной функцией от ф, тогда решение тоже будет четной функцией и не будет содержать членов с sin тф. [c.45] Число m должно быть целым, если мы хотим, чтобы функция (5.8) и ее производная по ф были непрерывны во всей области и, в частности, при переходе через луч ф = 0. Из этого требования следует, что m должно быть таким, чтобы одновременно выполнялись условия os2jim = l, з1п2ят=0, т. е. любым целым числом. Заметим уже сейчас, что несмотря на кажущуюся очевидность этого требования, в другом методе мы откажемся от него (см. п. 5.4). [c.45] Уравнение (5.6)—уравнение для цилиндрической функции порядка m от аргумента kr. Для выбора этой функции воспользуемся условием излучения и потребуем, чтобы ему удоВ летворяло не только все поле и, но каждый член в отдельности. Требование это не необходимо, но, припяв его, мы сумеем построить решение, удовлетворяющее всем условиям задачи. [c.45] Доказательство того, что при любом а°(а, ф) ряд (5.10) сходится, опускаем. [c.46] Анализ формул этого пункта проведем в конце параграфа. [c.46] Это следует из того, что согласно (5,16) тангенциальная компонента E , которая должна быть равной нулю на металле, пропорциональна ди/дг. [c.46] В ЭТОМ варианте в ряд по функциям (5.5) разлагается не дифрагированное, а полное поле. Граничное условие для него (5.4а) накладывается на каждую функцию Я (г), т. е. эти функции должны удовлетворять условию / (а)= 0. Именно это условие вместе с условием излучения, которому также подчиним полное поле и потребуем почленного его выполнения, определит значение постоянных разделения в (5,6), а тем самым, и в (5.7). Эти постоянные не будут целыми числами, поэтому Ф(ф) не будут простыми функциями (5.8) и при переходе через луч ф О будут испытывать разрыв [точнее см. (5.20)]. Разрыв на этом луче будет испытывать и весь ряд. Коэффициенты этого ряда находят из требования, чтобы этот разрыв представлял собой сторонний ток, возбуждающий полное поле. [c.48] Оно следует из общих свойств цилиндрических функций и может быть легко доказано также и непосредственно из формулировки однородной задачи ( ). [c.48] Введением разрыва на луче ф = О мы приписали всем точкам пространства значение ф в интервале О ф 2я. В частности, четность функции (5.21) не означает, что она сохраняется при замене ф на —ф, ибо не может принимать значения вне этого интервала. Функция (5.21) — четная относительно луча ф = 0 в том смысле, что она сохраняется при замене ф на 2л — ф. [c.49] Условие излучения и граничное условие (5.4а) выполнены этим рядом почленно, и при ф =т О он удовлетворяет однородному волновому уравнению (5.3). [c.49] Вернуться к основной статье