ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Уравнение Фоккера—Планка из "Неравновесная термодинамика и физическая кинетика " В предыдущей главе мы вывели уравнение Фоккера—Планка, исходя из физических предположений. Покажем, что это уравнение является следствием уравнения Смолуховского (при выполнении ряда перечисленных ниже условий). [c.68] Пусть условная плотность вероятности удовлетворяет следующим условиям. [c.68] Последнее условие обеспечивает малую вероятность резких значительных изменений случайного процесса и в конечном счете позволяет описывать его с помощью непрерывных траекторий. Процессы, удовлетворяющие этим условиям иногда в соответствии с их физическим смыслом, называют диффузионными процессами. [c.68] Полученное уравнение Фоккера—Планка для условной плотности вероятности — линейное уравнение второго порядка в частных производных параболического типа (в математической литературе это уравнение называют также прямым уравнением Колмогорова). [c.70] Заметим, что совпадение уравнения Фоккера—Планка для Р2 х 1, и х, t) и Р х, t) является очевидным следствием линейности соотношения (5.43) между этими функциями и самого уравнения. [c.71] Как было показано в предыдущем параграфе, все конечномерные плотности вероятности марковских процессов выражаются соотношениями (5.25) через эти две функции, что и определяет важную роль, которую играют уравнения Смолуховского (Чепмена—Колмогорова) и Фоккера—Планка (Колмогорова). [c.71] С другой стороны, имеется существенное различие в начальных условиях (5.40) и (5.42). В последнем условии фигурирует функция р(хо, о), которая выбирается из физических соображений и только в частном случае фиксированного Хо при to совпадает с (5.40). Зависимость от начальных условий обычно существенна, когда мы имеем дело с нестационарным процессом, т. е. описываем неравновесную физическую систему. [c.71] Указанная трудность легко преодолевается , если вместо одной частицы рассматривать семейство частиц, распределенных в бесконечном пространстве с конечной плотностью, или одну частицу, но в конечной пространственной области. [c.72] При выводе уравнения Фоккера—Планка из уравнения Лан-жевена в гл. IV мы отбросили инерциальный член. Теперь нетрудно понять, почему это было сделано. Дело в том, что с инерцией связана память частицы о движении x t) в прошлом. Поэтому при учете инерции случайный процесс л (/) не является марковским (см. также сноску на с. 236). [c.72] Хотя описание брауновского движения с помощью уравнения Фоккера—Планка (5.55), (5.44) эквивалентно описанию, основанному на уравнении Ланжевена (4.1), однако в первом случае расчетная схема является более удобной и компактной. Решение уравнений (5.44) или (5.55) с начальными условиями позволяет определить все необходимые средние значения в виде интегралов. [c.73] Вернуться к основной статье