ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Численные методы. Вариационные методы. Пристрелочный метод. Обобщения Качественные модели сверхзвуковых течений из "Проблемы гидродинамики и их математические модели " Пользуясь этими оценками, можно доказать такую теорему существования (см. М. А. Лаврентьев [4], гл. VI). [c.115] Эта теорема доказывает, в частности, существование в полосе О установившегося течения идеального газа, если расход достаточно мал. При увеличении расхода такое течение будет существовать до тех пор, пока его скорость в какой-либо точке границы не достигнет скорости звука. [c.115] При решении конкретных задач гидродинамики для всех математических моделей (от установившихся движений идеальной жидкости до неустановившихся движений сжимаемой вязкой жидкости — плоских и с осевой симметрией) все большее и большее значение приобретают приближенные решения. За последнее десятилетие в этом направлении достигнуты особенно большие успехи благодаря созданным и освоенным электронно-вычислительным машинам (ЭВ]Ч). [c.115] В конечной системе точек на границе. Создана новая область — машинная математика со своими специфическими приемами редукции непрерывных задач к дискретным, оценками точности, контролем в процессе счета. Для сильно устойчивых задач машинная математика достигла предельного успеха, однако осталось немало задач механики, где прямое применение числовых методов не приводит к нужным результатам. [c.116] Особо важными оказываются проблемы устойчивости решений граничных задач для уравнений — математических моделей движений среды. Большое значение имеют также приемы грубых расчетов, которые могут дать возможность оценки характера искомого решения, а также дать количественную оценку устойчивости задачи. [c.116] Приведем краткое описание некоторых приемов приближенного построения конформных отображений. [c.116] Оно отражает основное свойство гармонических функций значение и в каждом узле есть среднее арифметическое ее значений в соседних узлах. Мы можем выписать это уравнение для всех узлов (х,-, fj), расположенных внутри области D. Для узлов, расположенных от Г на расстоянии, меньшем h, мы можем считать значение u xi,yj) известным, приравняв его заданному значению и в точке Г, ближайшей к этому узлу. Таким образом, для определения и Хг, yj) мы получим систему линейных уравнений. [c.117] Доказано, что при непрерывных заданиях и на Г эта система всегда разрешима и при h O величина и (x , yj) стремится к соответствующему значению искомой функции. [c.117] Система (1) при малых h содержит большое число неизвестных. Для облегчения ее решения существует несколько приемов. Среди них укажем метод Либ-м а и а, который является методом последовательных приближений. По этому методу сначала во всех узлах задаются произвольные значения u xi, yj). Затем последовательно обходятся все узлы, и в каждом из них значения исправляются по формуле (1) через заданные (или уже исправленные) значения в соседних узлах. Этот процесс последовательных исправлений можно облегчить, если изготовить специальные шаблоны с окошечками, в которых видны только нужные значения и. При довольно широких условиях на кривую Г и граничные данные доказано, что при неограниченном повторении обхода узлов с исправлением значений аж-дая величина и(х,, у,) будет стремиться к решемю системы (1) при фиксированном h. [c.117] Вариационные методы. Эти графоаналитические методы основаны на вариационных принципах теории конформных отображений. Начнем с приближенного решения задачи о конформном отображении ограниченных областей с дважды гладкой границей на единичный круг. [c.118] В том же 12 мы показали, что этим способом можно получить приближенные формулы для конформного отображения областей, близких к данной если область В близка к О в смысле близости второго порядка и / — конформное отображение О на единичный круг с нормировкой /(2о) = О, / (го) 0, то область 0) близка к кругу, ее отображение /1 на круг можно найти по формуле (2), а тогда сложная функция / = /1°/ будет отображать О на круг. [c.119] Укажем еще процесс приближенного построения конформного отображения на круг областей достаточно широкого класса, основанный на той же ид Будем предполагать, что граница Г рассматриваемой области О задается полярным уравнением г=г(ф), где функция г ограничена 0 Го г(ф) Г1 и имеет две непрерывные производные. [c.119] Хотя точность этого процесса невелика, он оказывается удобным для прикидочных расчетов и построений конформных отображений на круг ограниченных областей. [c.120] При достаточно большом п кривая у — У1 х) близка к прямой у = Н1, и для отображения /1 полосы О У У1(х) на А молено воспользоваться формулой (7). Функция 1 преобразует кривую у — У2. х) в кривую, близкую к прямой у — 1, и значит, мы можем найти отображение /2 полосы 0 у У2 х) на Д. Продолжая процесс, через п шагов мы получим приближенное конформное отображение заданной полосы О на Д. [c.121] Продолжая этот процесс, через п шагов мы получим линию Уп и сеть криволинейных квадратов, которая при больших х почти точно покрывает соответствующую часть области О. В конечной части некоторые участки линии у в общем случае окажутся выше границы Г области О, а некоторые ниже этой границы. Если квадрат с верхней стороной оказался выше Г, то мы уменьшим соответствующую величину рь, а если ниже — то увеличим изменение Рк будем делать пропорционально отклонению верхней стороны квадрата от линии Г. [c.123] Обобщения. Пристрелочный метод можно применять также для приближенного построения конформного отображения ограниченных двусвязных областей на круговые кольца. Пусть такая область О ограничена двумя гладкими кривыми Го (внутренняя граница) и Г (внешняя) и требуется найти ее конформное отображение на кольцо ро й1 1 . Число Ро не задается, а должно быть определено в процессе решения задачи (см. Л. и Ш., стр. 160) мы можем задать еще точку С, е Г, соответствующую точке йУ = 1. [c.124] Метод применим и для построения конформного отображения на круг т 1 односвязных ограниченных областей О. Здесь нужно, кроме точки соответствующей да — 1, задаться еще точкои о, соответствующей се) = О, и организовать процесс так, чтобы боковые стороны квадратов сходились в одну точку го. Последнее можно заменить условием, что на предпоследнем шагу кривая ут-1, сглаживающая внутренние основания квадратов, близка к окружности малого радиуса с центром в точке 2о. [c.125] Важным достоинством метода пристрелки является его универсальность. С небольшими изменениями его можно применять для приближенного решения про-страпствеппых задач гидродинамики с осевой симметрией, вихревых задач, а также плоских и с осевой симметрией задач газовой динамики. [c.125] Например, в случае плоских задач газовой динамики, сводящихся к квазиконформным отображениям на полосу О и 1 , изменение описанного выше процесса состоит лишь в том, что вместо квадратов строятся прямоугольники со сторонами цф, а система (14) заменяется более общей системой (14) из предыдущего параграфа. [c.125] Сверхзвуковым течениям посвящено большое количество работ как теоретического, так и прикладного характера, в которых решено много важных задач особенно плодотворным оказалось применение электронных вычислительных машин. Тем. н 1бнее многие явления, связанные с движениями со скоростями выше звуковой, остались неисследованными. Особенно мало изучены движения, у которых в одних зонах — скорости дозвуковые, а в других — сверхзвуковые. Здесь мы рассмотрим несколько значительно более простых для исследования моделей систем уравнений с частными производными, на которых видны некоторые явления, присущие уравнениям газовой динамики в сверхзвуковом и переходном режимах. [c.127] Вернуться к основной статье