ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Связь с аналитическими функциями. Задача Дирихле. Связь с конформными отображениями Конформные и квазиконформные отображения из "Проблемы гидродинамики и их математические модели " Вторую группу составляет действие умножения векторов. Рассматриваемые в векторной алгебре скалярное и векторное умножения с алгебраической точки зрения неудовлетворительны, потому что первое из них выводит из класса векторов (скалярное произведение двух векторов (х, у) —Х1у1- -...- -ХпУп —скаляр, а не вектор), а второе не допускает обратного действия (деление на вектор не определено). [c.50] Умножение не должно выводить из рассматриваемого класса плоских векторов, поэтому р — нужно считать равным какому-либо вектору, пусть 2 = а + ф. [c.51] Легко видеть, что при любых аир так определенное умножение удовлетворяет переместительному, сочетательному и распределительному закону и что при г/2=0 оно совпадает с умножением вектора 2 на число 2г=х2, а при г/1 = г/2 = О — с обычным умножением действительных чисел (2122 = Х1Х2). [c.51] Если определитель Д = О, то система (2) разрешима относительно х и у не при любых а и , а соответствующая однородная система ах- -аЬу О, Ьх- -(а+ Ь)у=0 имеет ненулевые решения. Последнее означает, что существуют делители нг/ля— отличные от нуля векторы a- -ib и л 4-гг/, произведение которых равно 0. [c.52] Три типа комплексных чисел. Таким образом, если мы определим произведение двух векторов по формуле (1), то в зависимости от расположения точки /2=а4-г Р на плоскости мы получим три типа алгебраических систем. [c.52] Число z = x — iy, у которого модуль равен z, а аргумент равен —arg 2, называется сопряженным к комплексному числу z — x -iy. Очевидно, zz = z . [c.54] В дальнейшем основную роль будут играть эллиптические и гиперболические системы комплексных чисел случай параболических систем является промежуточным. Для простоты письма мы будем рассматривать только канонические системы, для которых соответственно — 1 и Р = 1. [c.55] Легко проверить, что эти соотнощения и достаточны для существования j z) при условии дифференцируемости функций и к V, т. е. что при их выполнении предел (2) существует независимо от способа приближения h к 0. [c.57] Аналитичность. Таким образом, комплексная диф-ференцируемость (т. е. существование производной f ) оказывается более ограничительным требованием, чем обычная дифференцируемость функций и н v. Мы скоро увидим, однако, что дополнительные ограничения, связанные с комплексной дифференцируемостью, имеют естественный геометрический и физический смысл. Именно эти ограничения и приводят к созданию аппарата, хорошо описывающего плоские течения жидкости. [c.57] Примеры. Хотя условия аналитичности и /г-аналитичности довольно ограничительны (например, такая простая функция, как f ) = X2iy, не является ни аналитической, ни /г-аналитической), им все же удовлетворяет весьма большой запас функций, Приведем примеры таких функций. [c.58] Прямой подсчет показывает, что эти функции удовлетворяют условиям (4) или соответственно (5) во всей плоскости 2 и что для них сохраняется обычная формула дифференцирования е ) = е . [c.59] Особые точки. И в теории, и в приложениях весьма важную роль играют точки, в которых нарушается аналитичность (или /г-аналитичность) функций такие точки называются особыми. Приведем примеры изолированных особых точек аналитических функций —это простейшие особые точки, которые обладают окрестностями, свободными от других особенностей функции. Такие точки бывают двух родов однозначного и многозначного характера. [c.60] Производная / аналитической функции / также является аналитической функцией (см. следующий параграф), а комплексно сопряженная к аналитической функция называется антианалитической (такие функции, очевидно, удовлетворяют условиям Коши — Римана с измененными знаками). Формула (3) показывает, следовательно, что поля скоростей течений, удовлетворяющие принятым выше условиям, описываются антианалитиче-скими функциями. [c.62] В дальнейшем мы увидим, что и граничные условия, которые возникают в задачах гидродинамики, для рассматриваемых течений естественно выражаются через комплексный потенциал. Так как теория аналитических функций очень хорошо развита, то мы получаем мощный математический аппарат для решения задач гидродинамики таких течений. [c.62] Физический смысл особых точек. Простую гидродинамическую интерпретацию допускают также изолированные особые точки аналитических функций. [c.62] На рис. 12, а приведены линии тока (сплошные) и линии равного потенциала (пунктирные) этого течения. [c.63] Постоянная Г характеризует интенсивность вихря. На рис. 12,6 приведены линии тока и равного потенциала течения. [c.63] Мы видим, таким образом, что логарифмическая точка ветвления комплексного потенциала физически интерпретируется как вихреисточник, расположенный в этой точке. [c.64] Пусть теперь / - 0 и одновременно N 00, так что Nh стремится к конечной величине р. Предельное образование, которое при этом получается (слияние источника истока возрастающей интенсивности), называется точечным диполем с моментом р. [c.64] На рис. 13 изображены линии тока и линии равного потенциала поля точечного диполя. [c.64] Вернуться к основной статье