ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Применение первого метода А. М. Ляпунова к исследованию стационарных движений из "Курс теоретической механики. Т.2 " Указанные выще два способа исследования проблемы устойчивости движения А. М. Ляпунов применил к исследованию общего случая невозмущенного движения. Но особое внимание А. М. Ляпунов обратил на случаи-стационарного и периодического невозмущенных движений, выделив задачи, в которых уравнения первого приближения не могут дать ответ на вопрос об устойчивости движения. Для решения этих задач А. М. Ляпунов применил весьма тонкие и сложные соображения. [c.332] Наша дальнейшая цель состоит в кратком изложении некоторых из результатов, найденных А. М. Ляпуновым. [c.332] В этом параграфе рассмотрим лишь главные этапы доказательств основных теорем А. М. Ляпунова, ограничившись применением первого метода к случаю стационарных движений. [c.332] Уравнение (11.334)—характеристическое для системы дифференциальных уравнений (II. 331Ь) ). Вычислив корни характеристического уравнения, найдем общее решение системы линейных дифференциальных уравнений (II. 331Ь) так, как это уже было показано в теории малых колебаний. [c.333] Если среди корней характеристического уравнения есть кратные корни, то в общее решение системы дифференциальных уравнений (И.331Ь) войдут функции / р(0б , где — кратный корень уравнения (11.334), а fso )—полиномы от 1 степени, на единицу меньшей кратности корня Хр. [c.333] Рассмотрим получение дальнейших приближений. [c.334] Ограничения па произвольность определения постоянных интегрирования, входящих в состав функций х Ч налагаются условиями сходимости рядов (11.336), хотя вообще для определения этих постоянных можно применить иные способы. [c.334] Некоторые из постоянных сг, можно сделать нулями, выбирая определенным способом начальные условия. [c.335] Подставляя выражения (II. 339) в равенства (11.336), получим ряды, формально удовлетворяющие системе уравнений (II.331а). [c.335] Теперь рассмотрим свойства невозмущенного движения при различных предположениях относительно корней характеристического уравнения. Рассмотрим три теоремы А. М. Ляпунова ). [c.335] Теорема I. Если характеристическое уравнение (II. 334) имеет лишь корни с отрицательными действительными частями, невозмущенное движение устойчиво и, к тому же, так, что каждое возмущенное движение, для которого возмущения достаточно малы, асимптотически приближается к невозмущенному. [c.335] На основании известной теоремы о существовании решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений (II. 331а) ряды (II.336) всегда сходятся для некоторого интервала изменения г (to t Т). [c.335] Таким образом, существует система достаточно малых чисел, при которых выполняются условия (с). Теорема доказана. [c.336] Эти равенства можно найти, определяя k постоянных интегрирования из k начальных условий и подставляя их в остальные п — k условий после указанного выше подбора п — k остальных постоянных интегрирования. [c.337] Теорема III. Вели между корнями характеристического уравнения встречаются корни с положительными действительными частями, то невозмуш,енное движение неустойчиво. [c.337] Рассмотрим случай наличия действительных положительных корней характеристического уравнения. Пусть Х—наибольший из этих корней. Тогда тк ( п 1) не будет корнем характеристического уравнения ). [c.337] Здесь fj — голоморфные функции аргумента равные нулю, если их аргумент становится равным нулю, и действительные для действительных значений этого аргумента. [c.337] Аналогично доказываетея эта теорема для случая наличия комплексных корней характеристического уравнения с положительными действительными частями ). Случай наличия кратных корней с положительными действительным частями А. М. Ляпунов не рассматривал. Очевидно, заключение о неустойчивости движения сохраняется и в этом случае. [c.338] Сделаем некоторые заключительные замечания. [c.338] Вернуться к основной статье