ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Контактная задача о вдавливании штампа в торец кругового цилиндра из "Аналитические методы в контактных задачах теории упругости " Рассмотрим осесимметричную контактную задачу теории упругости, которую назовем задачей Сз, о вдавливании силой Р штампа радиуса а в плоскую границу цилиндра радиуса R и высоты h (см. рис. 2.4). [c.67] Здесь X = h/a, Ь = R/a, i6n и i ym счетное множество простых нулей и полюсов функции (2.61), В = Ьтп — матрица, D = d. [c.68] 63)-(2.64) А = im К и) = 0,5 (и оо), G — модуль сдвига, и — коэффициент Пуассона. [c.69] Известно, что Ут, l ml (Тт 7 ш) при гп ОО, тогда, учитывая асимптотическое представление Кп х) и 1п х) при х оо, систему (2.62) можно регуляризовать путем выделения и обращения бесконечной сингулярной матрицы Е с элементами (1.9). [c.69] Точная факторизация функции К (и) связана с большими трудностями, поэтому воспользуемся приближенной факторизацией [56], для чего функцию К и) аппроксимируем функцией L u) (1.13). Функция L u) легко факторизуется, что позволяет получить простые приближенные соотношения для элементов матрицы в виде (1.14). [c.69] Числовые результаты. Решение системы (2.65) получим методом урезания, урезанную систему представляем в виде (1.16) и находим ее решение на ПК. Значение N выбираем в зависимости от заданной точности. Числовые расчеты показывают, что сходимость метода улучшается при увеличении параметра R - а)/h. [c.69] Если S = 0,5 и 5 — 2, то при р — 1,174, р2 — 2,208, qi — 1,496, Q2 = 1,732 относительная погрешность аппроксимации (1.13) не превышает 2%. [c.69] В табл. 2.2 приведены значения величин (т р) и Р для различных значений параметров р,Х,Ь — R/a. [c.70] Анализ приведенных выше числовых значений величины Q при фиксированном значении Л позволяет сделать следуюш,ий вывод при увеличении параметра от 1 до некоторого значения сопротивление цилиндра внедрению штампа растет, а при дальнейшем увеличении параметра это сопротивление уменьшается и стремится к некоторому постоянному значению. Этот факт может быть использован на практике при выборе максимальной жесткости упругого конечного кругового цилиндра, помещенного без зазора в жесткий стакан с гладкими стенками. [c.70] Задача d другим методом изучалась в работе [69], ряд близких по постановке осесимметричных контактных задач для цилиндра рассматривался в работах [62, 63, 76, 151, 208, 213] и др. [c.71] Последний интеграл взят из [129] с учетом того, что 1т рк) ф О для всех Рк, Iq x) и К х) — модифицированные функции Бесселя. [c.73] До сих пор считалось, что коэффициент фиктивного поглощения среды 0. Устремляя г к нулю, получим решение исходной задачи 1. При этом следует учесть [55], что некоторые нули и полюсы функции Ls h,u) (2.69) при — О перейдут на действительную ось, что вызовет деформацию контура интегрирования в выражении ядра интегральных уравнений (2.75). О том, как будет выглядеть этот контур Г, подробно сказано в работе [55. [c.74] В формулах (2.78) далее будем считать, что 7 — полюсы функции L t) (2.79). Контур Г совпадает с положительной частью вещественной оси всюду, за исключением отрезков, содержащих вещественные полюсы функции L t) [55]. В случае чередования нулей и полюсов этой функции указанные отрезки обходятся контуром снизу [55. [c.74] Следовательно, система (2.76) принадлежит к типу нормальных систем Пуанкаре-Коха и ее решение может быть получено методом редукции при любых значениях параметра R - a)/h 0. [c.75] В случае о = О получаем поставленную ранее статическую осесимметричную контактную задачу (7з о вдавливании силой Р штампа радиуса а в плоскую границу кругового цилиндра радиуса R и высоты h. Граничные условия имеют вид (2.67), где u,w — проекции вектора перемешения, (Jz,Trz — компоненты тензора напряжений. [c.75] Функция Tn,k описана в (2.76), qk ap) — решение интегрального уравнения (2.78), где /f (r) имеет вид (2.80), ijk комплексные полюсы функции L t), лежащие в верхней полуплоскости. Так как функция не имеет действительных полюсов, то контур Г в уравнении (2.78) будет полностью совпадать с положительной частью вещественной оси. Бесконечная система (2.76), (2.83) здесь также будет принадлежать к типу нормальных систем Пуанкаре-Коха. [c.75] Анализ числовых значений величины Р при фиксированном значении параметра Л позволяет сделать следуюш,ий вывод при увеличении параметра R от единицы до некоторого значения, которое зависит от Л, сопротивление цилиндра внедрению штампа растет, а при дальнейшем увеличении параметра R это сопротивление уменьшается и стремится к некоторому постоянному значению. Наглядно это можно проследить на рис. 2.5, где изображена зависимость Р от R при Л = 2. [c.78] Отметим, что алгоритм позволяет находить решение динамической задачи d также с любой степенью точности при Л Л (а ), при этом Х со) увеличивается с увеличением частоты о . [c.78] Вернуться к основной статье