ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Метод вспомогательных отображений из "Введение в теорию нелинейных колебаний " Вспомогательное отображение в своей области определения G может быть однозначным или многозначным. [c.302] Причем многозначность вспомогательного отображения возможна п при взаимной однозначности отображения Т. Приведем несколько простых примеров. [c.302] Пусть кривые, определяемые этим уравнением, разбивают область опрелеления G отображения Т на части G,, G. .. [c.305] Заметим, что изменения отображения Т, приводящие к изменениям области G и кривых F,, вне области G, не окажут влияния на вид вспомогательных отображений fj и Tj в области 0. Поэтому, в частности, эти вспомогательные отображения будут такими же и для отображений, преобразующих область G в область G, изображенных иа рис. 7.56. При изменениях вида области G, в которую отображение Т преобразует область G, изображенных на рис. 7 57, а, б, вспомогательное отображение Т в области G будет уже более чем двузначным. Однако по-преж-иему среди однозначных отображений, на которые оно распадается, будут отображения Д и Т , которые преобразуют область G в расположенные в ней области Gi и G. и которые зависят только от той части отображения Г, которая преобразует область G в нее же. [c.307] В приводимых выше примерах отображений Т и вспомогательных к ним отображений Т отображение Т не имеет областей, которые бы оно преобразовывало в себя, в то время как для вспомогательного отображения Т такие области имеются. Поэтому вспомогательное отображение допускает применение к нему описанных вьпие общих признаков неподвижной точки. Полезность этого применения в том, что неподвижные точки отображений Т и f одни и те же. Действительно, из того, что Т (и, и ) = = и, V ), следует, что f и, v ) = и, у ) и обратно. [c.307] Это условие сжимаемости соответствует тому, что отображение Т — сжимаюи1ее вдоль оси и и, напротив, растягивающее вдоль оси V. При этом вектор (б , Sv) преобразуется в вектор (бй, бй), как показано на рис. 7.58. [c.308] Теперь мы можем сформулировать утверждение, которое оказывается полезным при исследовании точечных отображении, возникающих во многих конкретных случаях. [c.309] Теорема 7,3. Пусть точечное отображение Т имеет многозначное вспомогательное отображение Г, и пусть fi, f-i,. .., Г , — некоторые из составляющих его однозначных отображений, которые определены в области G, преобразуют ее в себя и являются в ней сжимающИМИ, ТОГДа любому набору целых положительных чисел i ,. .., i,., не больших т, соответствует своя единственная -кратная седловая неподвижная точка отображения Т. [c.309] Из этой теоремы следует, что удовлетворяющее ее условиям точечное отображение Т обладает весьма сложной структурой и что появление этой сложной структуры связано с м югозначностью вспомогательного отображения Т и его свойством преобразования некоторой области G в себя. Свойство сжимаемости, как оказывается, не является столь существенным. Оно лищь обеспечивает взаимную однозначность соответствия неподвижных точек и числовых последовательностей i. ,. .., а также их седловой характер. [c.310] Подкова Смейла является нростеСиним примером такого рода, аналогичные ей примеры точечных отображений представлены на рис. 7,60 и могут быть легко продолжены. [c.312] Вернуться к основной статье