ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Вывод уравнений Лагранжа из "Классическая механика " Прежде чем приступить к выводу ковариантной записи уравнений движения — уравнений Лагранжа, получим два вспомогательных равенства. [c.126] В силу формулы (9) частная производная от радиуса-вектора по 7 также является функцией всех новых координат и t. [c.126] Формула (17) и является вторым искомым вспомогательным соотношением. [c.126] Полагая /=1, 2, п, можно выписать п таких равенств. [c.127] Левые части уравнений (22) и их еывод сходны с правыми частями равенств (17) из гл. I и их выводом. Это сходство не случайно. Оно связано со следующей интерпретацией уравнений (22). [c.128] Введем в рассмотрение ЗЛ -мерное пространство Xi, yi, 2,-(/ = 1,. .., N). Каждому положению системы из N точек соответствует одна точка в этом ЗЛ/-мерном пространстве. [c.128] Уравнения (22) называются уравнениями Лaгpaнжa ). Число таких уравнений совпадает с числом новых координат. В рассматриваемом здесь случае (системы без механических связей подробнее см. далее) оно в точности равно ЗЛ/, т. е. числу уравнений Ньютона, которые можно выписать для этой же материальной системы, если бы рассматривалась декартова система координат. Но в отличие от уравнений Ньютона уравнения Лагранжа (22) уже не связаны с декартовой системой координат х, у, г и выписаны Б произвольных независимых новых координатах , q . [c.129] Выясним механический смысл величин Qf. [c.129] Сумма в правой части этого равенства равна элементарной работе всех сил системы при предположении, что время t заморожено , т. е. что при подсчете dr,- считается = onst и поэтому dri заменены на бг . [c.129] Сделаем теперь несколько замечаний по поводу понятия обобщенной силы. [c.130] Замечание 2. Размерность обобщенной силы, вообще говоря, не совпадает с размерностью силы. Из формулы (25) ясно, что размерность обобщенной силы Qj равна размерности работы, деленной на размерность координаты qj. Если координата qj имеет размерность длины, то обобщенная сила имеет размерность силы. В тех случаях, когда координатой qj является угол, размерность обобщенной силы совпадает с размерностью момента силы. [c.130] В качестве примера рассмотрим плоское движение материальной точки в полярной системе координат г, ф (рис. IV.I). В этом случае 1 = /-, 7а = ф. [c.131] Непосредственно ясно, что всегда, когда обобщенная координата q является плоским углом, соответствующая сила Q будет проекцией главного момента на ось, перпендикулярную плоскости угла q. Действительно, элементарная работа сил системы при повороте вокруг оси равна произведению элементарного угла поворота на сумму моментов всех приложенных сил относительно оси, перпендикулярной плоскости, в которой происходит поворот. [c.131] Иначе говоря, если исходные силы потенциальны, то и обобщенные силы являются потенциальными. [c.132] Функция L q, q, t), равная разности кинетической и потенциальной энергии системы после преобразования их к новым координатам, является функцией новых координат, их производных и, быть может, времени. [c.133] Функция эта носит название функции Лагранжа, лагранжиана или кинетического потенциала системы. [c.133] Таким образом, в случае движения в потенциальных полях уравнения Лагранжа имеют более простой вид (29) и содержат только одну функцию-лагранжиан системы, вид которой зависит от выбора снстемы координат. [c.133] Рассмотрим теперь случай, когда система движется в потенциальном поле и, кроме того, находится под действием непотенциальных сил. [c.133] Для того чтобы выписать уравнения Лагранжа для некоторой конкретной системы, нужно произвести следующие операции. [c.133] Если движение происходит в потенциальном поле, надо не вычислять обобщенные силы, а составить выражение для потенциальной энергии системы, и затем, используя формулы (8), подставить в него декартовы координаты точек как функции новых координат. После этого надо найти кинетическую энергию так, как это было указано выше, и, снова выразив декартовы координаты и их производные через новые координаты, выписа1ь лагранжиан, т. е. разность кинетической и потенциальной энергий. Найденный таким образом лагранжиан подставляется в уравнения (29). [c.134] Вернуться к основной статье